【題目】函數(shù)f(x)=x3-kx,其中實(shí)數(shù)k為常數(shù).
(1)當(dāng)k=4時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若曲線y=f(x)與直線y=k只有一個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-2),(2,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間是(-2,2).(2) k<.
【解析】試題分析:(1)將參數(shù)值代入得到表達(dá)式,求導(dǎo),研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況,得到單調(diào)性。(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-k,研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性,使得這個(gè)函數(shù)和軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于g(-)<0,解出k的范圍即可。
解析:
(1)因?yàn)閒′(x)=x2-k,
當(dāng)k=4時(shí),f′(x)=x2-4,
令f′(x)=x2-4=0,
所以x1=2,x2=-2.
f′(x)、f(x)隨x的變化情況如下表:
x | (-∞,-2) | -2 | (-2,2) | 2 | (2,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | ? | 極大值 | ? | 極小值 | ? |
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-2),(2,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間是(-2,2).
(2)令g(x)=f(x)-k,由題意知,g(x)只有一個(gè)零點(diǎn).
因?yàn)間′(x)=f′(x)=x2-k.
當(dāng)k=0時(shí),g(x)=x3,
所以g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)0.
當(dāng)k<0時(shí),g′(x)=x2-k>0對(duì)x∈R恒成立,所以g(x)單調(diào)遞增,所以g(x)只有一個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)k>0時(shí),令g′(x)=f′(x)=x2-k=0,解得x1=或x2=-.
g′(x),g(x)隨x的變化情況如下表:
x | (-∞,- ) | - | (-, ) | (,+∞) | |
g′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
g(x) | ? | 極大值 | ? | 極小值 | ? |
g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于g(-)<0,即k-k<0,解得0<k<.
綜上所述,k的取值范圍是k<.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為。
(1)求、的值;
(2)如果當(dāng),且時(shí), ,求的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中, 平面, 為線段上一點(diǎn), , 為的中點(diǎn).
(1)證明:
(2)求四面體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形AMDE的邊長(zhǎng)為2,B,C分別為AM,MD的中點(diǎn).在五棱錐P-ABCDE中,F為棱PE的中點(diǎn),平面ABF與棱PD,PC分別交于點(diǎn)G,H.
(1)求證:AB∥FG;
(2)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE.求直線BC與平面ABF所成角的大小,并求線段PH的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-ax-alnx(a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,求a的值;
(2)在(1)的條件下,求證:f(x)≥-+-4x+.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,設(shè)m=,n=,現(xiàn)有如下命題:
①對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,都有m>0;
②對(duì)于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,都有n>0;
③對(duì)于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,使得m=n;
④對(duì)于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,使得m=-n.
其中真命題有___________________(寫出所有真命題的序號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,四棱錐P-ABCD中,AB⊥AD,AD⊥DC,PA⊥底面ABCD, ,M為PC的中點(diǎn),N點(diǎn)在AB上且.
(1)證明:MN∥平面PAD;
(2)求直線MN與平面PCB所成的角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著資本市場(chǎng)的強(qiáng)勢(shì)進(jìn)入,互聯(lián)網(wǎng)共享單車“忽如一夜春風(fēng)來(lái)”,遍布了一二線城市的大街小巷.為了解共享單車在市的使用情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽取了200人進(jìn)行抽樣分析,得到表格:(單位:人)
經(jīng)常使用 | 偶爾或不用 | 合計(jì) | |
30歲及以下 | 70 | 30 | 100 |
30歲以上 | 60 | 40 | 100 |
合計(jì) | 130 | 70 | 200 |
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.15的前提下認(rèn)為市使用共享單車情況與年齡有關(guān)?
(2)現(xiàn)從所抽取的30歲以上的網(wǎng)友中利用分層抽樣的方法再抽取5人.
(i)分別求這5人中經(jīng)常使用、偶爾或不用共享單車的人數(shù);
(ii)從這5人中,再隨機(jī)選出2人贈(zèng)送一件禮品,求選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車的概率.
參考公式: ,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為x+y=2.
(1)求a,b的值;
(2)對(duì)函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任一個(gè)實(shí)數(shù)x,不等式f(x)-<0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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