【題目】如圖,正方形AMDE的邊長為2,B,C分別為AM,MD的中點(diǎn).在五棱錐P-ABCDE中,F為棱PE的中點(diǎn),平面ABF與棱PD,PC分別交于點(diǎn)G,H.
(1)求證:AB∥FG;
(2)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE.求直線BC與平面ABF所成角的大小,并求線段PH的長.
【答案】(1)詳見解析(2)點(diǎn)H的坐標(biāo)為().PH=2.
【解析】試題分析:(1)運(yùn)用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理即可證得;(2)由于PA⊥底面ABCDE,底面AMDE為正方形,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系Axyz,分別求出A,B,C,E,P,F,及向量BC的坐標(biāo),設(shè)平面ABF的法向量為n=(x,y,z),求出一個(gè)值,設(shè)直線BC與平面ABF所成的角為α,運(yùn)用sinα=|cos<n, >|,求出角α;設(shè)H(u,v,w),再設(shè) (0<λ<1),用λ表示H的坐標(biāo),再由n =0,求出λ和H的坐標(biāo),再運(yùn)用空間兩點(diǎn)的距離公式求出PH的長.
試題解析:
(1)在正方形AMDE中,因?yàn)?/span>B是AM的中點(diǎn),所以AB∥DE.
又因?yàn)?/span>AB平面PDE,所以AB∥平面PDE.
因?yàn)?/span>AB平面ABF,且平面ABF∩平面PDE=FC,
所以AB∥FG.
(2)因?yàn)?/span>PA⊥底面ABCDE,所以PA⊥AB,PA⊥AE.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系A-xyz,
則A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),=(1,1,0).
設(shè)平面ABF的法向量為n=(x,y,z),則
即
令z=1,則y=-1.所以n=(0,-1,1).
設(shè)直線BC與平面ABF所成角為α,則
sinα=|cos<n, >|=||=.
因此直線BC與平面ABF所成角的大小為.
設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(u,v,w).
因?yàn)辄c(diǎn)H在棱PC上,所以可設(shè)=λ (0<λ<1),
即(u,v,w-2)=λ(2,1,-2),
所以u=2λ,u=λ,w=2-2λ.
因?yàn)?/span>n是平面ABF的法向量,所以n·=0,
即(0,-1,1)·(2λ,λ,2-2λ)=0.
解得λ=,所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為(,,).
所以PH==2.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= -lnx-.
(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)求證:lnx≥-
(Ⅲ)判斷曲線y=f(x)是否位于x軸下方,并說明理由.
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【題目】如圖,在幾何體中,四邊形ABCD為菱形,對角線AC與BD的交點(diǎn)為O,四邊形DCEF為梯形,EF∥DC,FD=FB.
(Ⅰ)若DC=2EF,求證:OE∥平面ADF;
(Ⅱ)求證:平面AFC⊥平面ABCD;
(Ⅲ)若AB=FB=2,AF=3,∠BCD=60°,求AF與平面ABCD所成角.
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【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)求證:當(dāng)時(shí), ;
(Ⅱ)若函數(shù)在(1,+∞)上有唯一零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】(2017·雞西一模)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為正方形A1B1C1D1四邊上的動(dòng)點(diǎn),O為底面正方形ABCD的中心,M,N分別為AB,BC中點(diǎn),點(diǎn)Q為平面ABCD內(nèi)一點(diǎn),線段D1Q與OP互相平分,則滿足的實(shí)數(shù)λ的值有( )
A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)
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A. f(x)=x2+bx-1(b∈R) B. f(x)=2-|x-1|
C. f(x)=2x-x2 D. f(x)=x-sin x
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【題目】函數(shù)f(x)=x3-kx,其中實(shí)數(shù)k為常數(shù).
(1)當(dāng)k=4時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若曲線y=f(x)與直線y=k只有一個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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(1)若銷售金額(單位:萬元)不低于平均值的微商定義為優(yōu)秀微商,其余為非優(yōu)秀微商,根據(jù)莖葉圖推斷該地區(qū)110家微商中有幾家優(yōu)秀?
(2)從隨機(jī)抽取的6家微商中再任取2家舉行消費(fèi)者回訪調(diào)查活動(dòng),求恰有1家是優(yōu)秀微商的概率.
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