Question

【題目】如圖，在幾何體中，四邊形ABCD為菱形，對角線AC與BD的交點為O，四邊形DCEF為梯形，EF∥DC，FD＝FB.

(Ⅰ)若DC＝2EF，求證：OE∥平面ADF；

(Ⅱ)求證：平面AFC⊥平面ABCD；

(Ⅲ)若AB＝FB＝2，AF＝3，∠BCD＝60°，求AF與平面ABCD所成角．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)見解析；(Ⅲ) 30°.

【解析】試題分析: （Ⅰ）取AD的中點G，連接OG，F(xiàn)G，證明OGFE為平行四邊形，可得OE∥FG，即可證明：OE∥平面ADF；

（Ⅱ）欲證：平面AFC⊥平面ABCD，即證BD⊥平面AFC；

（Ⅲ）做FH⊥AC于H，∠FAH為AF與平面ABCD所成角，即可求AF與平面ABCD所成角．

試題解析：

(Ⅰ)證明：取AD的中點G，連接OG，FG.

∵對角線AC與BD的交點為O，

∴OG∥DC，OG＝DC，

∵EF∥DC，DC＝2EF，∴OG∥EF，OG＝EF，∴OGFE為平行四邊形，

∴OE∥FG，

∵FG平面ADF，OE平面ADF，

∴OE∥平面ADF；

(Ⅱ)證明：∵四邊形ABCD為菱形，

∴OC⊥BD，

∵FD＝FB，O是BD的中點，

∴OF⊥BD，

∵OF∩OC＝O，

∴BD⊥平面AFC，

∵BD平面ABCD，

∴平面AFC⊥平面ABCD；

(Ⅲ)解：作FH⊥AC于H.

∵平面AFC⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD，

∴∠FAH為AF與平面ABCD所成角，

由題意，△BCD為正三角形，OA＝，BD＝AB＝2，

∵FD＝FB＝2，

∴△FBD為正三角形，∴OF＝.

△AOF中，由余弦定理可得cos∠AOF＝＝－，

∴∠AOF＝120°，

∴∠FAH＝∠FAO＝30°，

∴AF與平面ABCD所成角為30°