【題目】定義：若存在常數(shù)，使得對(duì)定義域D內(nèi)的任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，均有：成立，則稱在D上滿足利普希茨(Lipschitz)條件．

（1）試舉出一個(gè)滿足利普希茨(Lipschitz)條件的函數(shù)及常數(shù)的值，并加以驗(yàn)證；

（2）若函數(shù)在上滿足利普希茨(Lipschitz)條件，求常數(shù)的最小值；

（3)現(xiàn)有函數(shù)，請(qǐng)找出所有的一次函數(shù)，使得下列條件同時(shí)成立：

①函數(shù)滿足利普希茨(Lipschitz)條件；

②方程的根也是方程的根，且；

③方程在區(qū)間上有且僅有一解．

【答案】（1），見(jiàn)解析；（2）（3）

【解析】

（1）令可以滿足題意，一次函數(shù)和常值函數(shù)都可以滿足；

（2）根據(jù)定義化簡(jiǎn)，得出k的最小值；

（3）由于所有一次函數(shù)均滿足（1）故設(shè)是的根，推得，若符合題意，則也符合題意，可以只考慮的情形，分①若，②若，分別驗(yàn)證是否滿足題意，可得k的范圍.

（1）例如令由

知可取滿足題意（任何一次函數(shù)或常值函數(shù)等均可）。

（2）在為增函數(shù)對(duì)任意有

（當(dāng)時(shí)取到）所以

（3）由于所有一次函數(shù)均滿足（1）故設(shè)是的根，

又

若符合題意，則也符合題意，故以下僅考慮的情形。

設(shè)

①若，則由且

所以，在中另有一根，矛盾。

②若，則由

所以，在中另有一根，矛盾。

以下證明，對(duì)任意符合題意。

當(dāng)時(shí)，由圖象在連接兩點(diǎn)的線段的上方知

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

綜上：有且僅有一個(gè)解，在滿足題意。

綜上所述：,

故得解.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）若，求此時(shí)直線的方程；

（2）若與直線垂直的直線過(guò)點(diǎn)，且與拋物線相交于點(diǎn)、，設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、，如圖，求證：直線過(guò)定點(diǎn)；

（3）設(shè)拋物線上的點(diǎn)、在其準(zhǔn)線上的射影分別為、，若△的面積是△的面積的兩倍，如圖，求線段中點(diǎn)的軌跡方程.

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【題目】為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：

性別

是否需要志愿者

男

女

需要

40

30

不需要

160

270

附：的觀測(cè)值

0.05

0.01

0.001

3.841

6.635

10.828

（1）估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；

（2）在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下是否可認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？

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（1）求拋物線的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓交軸于，兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的最小值.

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【題目】從分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)字不大于第二張卡片的概率是（ ）

A. B. C. D.

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【題目】甲、乙兩家商場(chǎng)對(duì)同一種商品開(kāi)展促銷活動(dòng),對(duì)購(gòu)買該商品的顧客兩家商場(chǎng)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下:

甲商場(chǎng):顧客轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的圓盤,當(dāng)指針指向陰影部分(圖中兩個(gè)陰影部分均為扇形,且每個(gè)扇形的圓心角均為,邊界忽略不計(jì))即為中獎(jiǎng).

乙商場(chǎng):從裝有2個(gè)白球、2個(gè)藍(lán)球和2個(gè)紅球(這些球除顏色外完全相同)的盒子中一次性摸出2球,若摸到的是2個(gè)相同顏色的球,則為中獎(jiǎng).

試問(wèn):購(gòu)買該商品的顧客在哪家商場(chǎng)中獎(jiǎng)的可能性大?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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