Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）若實(shí)數(shù)為整數(shù)，且對(duì)任意的時(shí)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）極大值為，無(wú)極小值；（Ⅱ）1.

【解析】

(Ⅰ)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)討論原函數(shù)的單調(diào)性，從而可確定函數(shù)的極值；

(Ⅱ)結(jié)合題意分離參數(shù)，然后構(gòu)造新函數(shù)，研究構(gòu)造的函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理找到隱零點(diǎn)的范圍，最后利用函數(shù)值的范圍即可確定整數(shù)m的最小值.

(Ⅰ)設(shè)，

∴，

令，則；，則；

∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，

∴，無(wú)極小值.

(Ⅱ)由，即在上恒成立，

∴在上恒成立，

設(shè)，則，

顯然，

設(shè)，則，故在上單調(diào)遞減

由，，

由零點(diǎn)定理得，使得，即

且時(shí)，，則，

時(shí)，. 則

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

∴，

又由，，則

∴由恒成立，且為整數(shù)，可得的最小值為1.