【題目】已知數(shù)列{an}滿足an>0,a1=2,且(n+1)an+12=nan2+an(n∈N*).
(Ⅰ)證明:an>1;
(Ⅱ)證明: + +…+ < (n≥2).
【答案】證明:(Ⅰ)由題意得(n+1)an+12﹣(n+1)=nan2﹣n+an﹣1, ∴(n+1)(an+1+1)(an+1﹣1)=(an﹣1)(nan+n+1),
由an>0,n∈N*,
∴(n+1)(an+1+1)>0,nan+n+1>0,
∴an+1﹣1與an﹣1同號(hào),
∵a1﹣1=1>0,
∴an>1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,故(n+1)an+12=nan2+an<(n+1)an2 ,
∴an+1<an , 1<an≤2,
又由題意可得an=(n+1)an+12﹣nan2 ,
∴a1=2a22﹣a12 , a2=3a32﹣2a22 , …,an=(n+1)an+12﹣nan2 ,
相加可得a1+a2+…+an=(n+1)an+12﹣4<2n,
∴an+12≤ ,即an2≤ ,n≥2,
∴ ≤2( + )≤2( ﹣ )+( ﹣ + ),n≥2,
當(dāng)n=2時(shí), = < ,
當(dāng)n=3時(shí), + ≤ < < ,
當(dāng)n≥4時(shí), + +…+ <2( + + + )+( + + ﹣ )=1+ + + + + < ,
從而,原命題得證
【解析】(Ⅰ)根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系可得(n+1)(an+1+1)(an+1﹣1)=(an﹣1)(nan+n+1),再根據(jù)an>0,可得an+1﹣1與an﹣1同號(hào),問題得以證明,(Ⅱ)先判斷出1<an≤2,再得到an2≤ ,n≥2,利用放縮法得到 ≤2( ﹣ )+( ﹣ + ),再分別取n=2,3,以及n≥4即可證明.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)公式,掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè) , 是兩個(gè)非零向量,則下列哪個(gè)描述是正確的( 。
A.若|+|=||﹣||,則⊥
B.若⊥ , 則|+|=||﹣||
C.若|+|=||﹣||,則存在實(shí)數(shù)λ使得=
D.若存在實(shí)數(shù)λ使得= , 則|+|=||﹣||
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在坐標(biāo)軸上,漸近線方程為y=±x,且雙曲線過點(diǎn)P(4,-).
(1)求雙曲線的方程;
(2)若點(diǎn)M(x1,y1)在雙曲線上,求的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= x3﹣ax2+3x+b(a,b∈R).
(Ⅰ)當(dāng)a=2,b=0時(shí),求f(x)在[0,3]上的值域.
(Ⅱ)對(duì)任意的b,函數(shù)g(x)=|f(x)|﹣ 的零點(diǎn)不超過4個(gè),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】分別是雙曲線的左右焦點(diǎn),過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點(diǎn).若為等邊三角形,則的面積為( )
A. 8 B. C. D. 16
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2009年廣東卷文)某單位200名職工的年齡分布情況如圖2,現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本,用系統(tǒng)抽樣法,將全體職工隨機(jī)按1-200編號(hào),并按編號(hào)順序平均分為40組(1-5號(hào),6-10號(hào)…,196-200號(hào)).若第5組抽出的號(hào)碼為22,則第8組抽出的號(hào)碼應(yīng)是 。若用分層抽樣方法,則40歲以下年齡段應(yīng)抽取 人.
圖 2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某住宅小區(qū)為了使居民有一個(gè)優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境,計(jì)劃建一個(gè)八邊形的休閑小區(qū),其主體造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和矩形EFGH構(gòu)成的面積是200 m2的十字形區(qū)域,現(xiàn)計(jì)劃在正方形MNPQ上建一花壇,造價(jià)為4 200元/m2,在四個(gè)相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪,造價(jià)為210元/m2,再在四個(gè)空角上鋪草坪,造價(jià)為80元/m2.
(1)設(shè)總造價(jià)為S元,AD的邊長(zhǎng)為x m,試建立S關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)計(jì)劃至少要投多少萬元才能建造這個(gè)休閑小區(qū)?
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