【題目】如圖,矩形和梯形所在平面互相垂直, , , .
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)當(dāng)的長為何值時,二面角的大小為60°.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(I)由已知中在△BCE中,BC⊥CF,BC=AD=,BE=3,由勾股定理,我們易得EF⊥CE,由矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,可得DC⊥平面EFCB,則DC⊥EF,進而由線面垂直的判定定理得到答案.
(II)以點C為坐標原點,以CB,CF和CD分別作為x軸,y軸和z軸,建立空間直角坐標系C﹣xyz,設(shè)AB=a,分別求出平面AEF的法向量和平面EFCB的法向量,代入向量夾角公式,由二面角A﹣EF﹣C的大小為60°,構(gòu)造關(guān)于a的方程,解方程求出a值.
試題解析:
(1)證明:在中,,,,,
所以.又因為在中,,所以.
由已知條件知,平面,所以.
又,所以平面
(2)如圖,以點C為坐標原點,以CB,CF和CD分別作為x軸,y軸和z軸,建立空間直角坐標系C-xyz.
設(shè)AB=a(a >0),則C(0,0,0),A(,0,a),B(,0,0),E(, 3,0),F(0,4,0).從而
設(shè)平面AEF的法向量為,由得,
取x=1,則,即.
不妨設(shè)平面EFCB的法向量為,
由條件,得,
解得.所以當(dāng)時,二面角A-EF-C的大小為60°.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.
(1)求的取值范圍;
(2)記兩個極值點為,且,已知,若不等式恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定一個數(shù)列{an},在這個數(shù)列里,任取m(m≥3,m∈N*)項,并且不改變它們在數(shù)列{an}中的先后次序,得到的數(shù)列稱為數(shù)列{an}的一個m階子數(shù)列.已知數(shù)列{an}的通項公式為an= (n∈N*,a為常數(shù)),等差數(shù)列a2,a3,a6是數(shù)列{an}的一個3階子數(shù)列.
(1)求a的值;
(2)等差數(shù)列b1,b2,…,bm是{an}的一個m (m≥3,m∈N*) 階子數(shù)列,且b1= (k為常數(shù),k∈N*,k≥2),求證:m≤k+1;
(3)等比數(shù)列c1,c2,…,cm是{an}的一個m (m≥3,m∈N*) 階子數(shù)列,
求證:c1+c2+…+cm≤2- .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分13分)已知動圓過定點且與軸截得的弦的長為.
(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡的方程;
(Ⅱ)已知點,動直線和坐標軸不垂直,且與軌跡相交于兩點,試問:在軸上是否存在一定點,使直線過點,且使得直線,,的斜率依次成等差數(shù)列?若存在,請求出定點的坐標;否則,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,若函數(shù)的圖象全部在直線的下方,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列為遞增的等比數(shù)列, ,
數(shù)列滿足.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)求證: 是等差數(shù)列;
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列滿足,且數(shù)列的前項和,并求使得對任意都成立的正整數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“拋階磚”是國外游樂場的典型游戲之一.參與者只需將手上的“金幣”(設(shè)“金幣”的半徑為1)拋向離身邊若干距離的階磚平面上,拋出的“金幣”若恰好落在任何一個階磚(邊長為2.1的正方形)的范圍內(nèi)(不與階磚相連的線重疊),便可獲大獎.不少人被高額獎金所吸引,紛紛參與此游戲,但很少有人得到獎品,請用所學(xué)的概率知識解釋這是為什么.
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【題目】甲、乙兩家外賣公司,其送餐員的日工資方案如下:甲公司的底薪80元,每單抽成4元;乙公司無底薪,40單以內(nèi)(含40單)的部分每單抽成6元,超出40單的部分每單抽成7元,假設(shè)同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同,現(xiàn)從兩家公司各隨機抽取一名送餐員,并分別記錄其50天的送餐單數(shù),得到如下頻數(shù)表:
甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表
送餐單數(shù) | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
天數(shù) | 10 | 15 | 10 | 10 | 5 |
乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表
送餐單數(shù) | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
天數(shù) | 5 | 10 | 10 | 20 | 5 |
(1)現(xiàn)從甲公司記錄的50天中隨機抽取3天,求這3天送餐單數(shù)都不小于40的概率;
(2)若將頻率視為概率,回答下列兩個問題:
①記乙公司送餐員日工資為(單位:元),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
②小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員,如果僅從日工資的角度考慮,請利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為小王作出選擇,并說明理由.
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【題目】某省電視臺為了解該省衛(wèi)視一檔成語類節(jié)目的收視情況,抽查東西兩部各5個城市,得到觀看該節(jié)目的人數(shù)(單位:千人)如下莖葉圖所示,其中一個數(shù)字被污損.
(I)求東部觀眾平均人數(shù)超過西部觀眾平均人數(shù)的概率.
(II)節(jié)目的播出極大激發(fā)了觀眾隨機統(tǒng)計了4位觀眾的周均學(xué)習(xí)成語知識的的時間y (單位:小時)與年齡x(單位:歲),并制作了對照表(如下表所示):
由表中數(shù)據(jù)分析,x,y呈線性相關(guān)關(guān)系,試求線性回歸方程,并預(yù)測年齡為60歲觀眾周均學(xué)習(xí)成語知識的時間.
參考數(shù)據(jù):線性回歸方程中的最小二乘估計分別是.
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