Question

【題目】如圖所示，多面體是由底面為的直四棱柱被截面所截而得到的，該直四棱柱的底面為菱形，其中，，，．

(1)求的長(zhǎng)；

(2)求平面與底面所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)

【解析】

(1)由面面平行的性質(zhì)定理可知，四邊形為平行四邊形，以菱形對(duì)角線的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出向量坐標(biāo)，再求即可；

(2)分別求出平面與底面的法向量，利用向量的夾角公式求出法向量的夾角余弦值，進(jìn)而可求出平面與底面所成銳二面角的余弦值．

因?yàn)槎嗝骟w是由底面為的直四棱柱被截面所截而得到的，

所以平面平面，又平面平面,平面平面,

所以，同理，所以四邊形是平行四邊形，

連結(jié),交于，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

，，，，

所以，，

所以，所以,

所以的長(zhǎng)為.

(2)根據(jù)題意可取平面的一個(gè)法向量為，

由(1)知，，設(shè)平面的法向量為，則

由，得，即，

令，則，，所以，

所以，

所以平面與底面所成銳二面角的余弦值為.