【題目】已知函數(shù).

（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求，并求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，證明.

【答案】（1），的單調(diào)遞減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由求得，再確定的正負(fù)，從而確定的單調(diào)區(qū)間；

（2）由得，，構(gòu)造新函數(shù)，，只要證明即可，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可．只是要注意的唯一解不可直接得出，只能通過(guò)的零點(diǎn)來(lái)研究的最小值，只要說(shuō)明即可．

（1），

由是的極值點(diǎn)知，，即，所以.

于是，定義域?yàn)?/span>，且，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，

因此當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，增區(qū)間為.

（2）當(dāng)，時(shí)，，從而，則

，

令，，則

在單調(diào)遞增，

且，，

故存在唯一的實(shí)數(shù)，使得.

當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增．

從而當(dāng)時(shí)，取最小值.

由得，則，，

故，

由知，，故，

即當(dāng)時(shí)，成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，橢圓C的離心率為．，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)M為的中點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），過(guò)M且平行于OP的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得；若存在，請(qǐng)求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若存在直線，使得對(duì)任意的，，對(duì)任意的，，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，多面體是由底面為的直四棱柱被截面所截而得到的，該直四棱柱的底面為菱形，其中，，，．

(1)求的長(zhǎng)；

(2)求平面與底面所成銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓，圓，如圖，分別交軸正半軸于點(diǎn).射線分別交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與軸垂直，直線與軸垂直.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作直線交曲線與點(diǎn)，射線與點(diǎn)，且交曲線于點(diǎn).問(wèn)：的值是否是定值？如果是定值，請(qǐng)求出該定值；如果不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.若將曲線（為參數(shù)）上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變），然后將所得圖象向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到曲線C.直線l的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線C的普通方程；

（2）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)P，線段AB的中點(diǎn)為M，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某農(nóng)場(chǎng)更新技術(shù)培育了一批新型的“盆栽果樹(shù)”，這種“盆栽果樹(shù)”將一改陸地栽植果樹(shù)只在秋季結(jié)果的特性，能夠一年四季都有花、四季都結(jié)果.現(xiàn)為了了解果樹(shù)的結(jié)果情況，從該批果樹(shù)中隨機(jī)抽取了容量為120的樣本，測(cè)量這些果樹(shù)的高度（單位：厘米），經(jīng)統(tǒng)計(jì)將所有數(shù)據(jù)分組后得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求；

（2）已知所抽取的樣本來(lái)自兩個(gè)實(shí)驗(yàn)基地，規(guī)定高度不低于40厘米的果樹(shù)為“優(yōu)品盆栽”，

（i）請(qǐng)將圖中列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為“優(yōu)品盆栽”與兩個(gè)實(shí)驗(yàn)基地有關(guān)？

優(yōu)品

非優(yōu)品

合計(jì)

基地

60

基地

20

合計(jì)

（ii）用樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)這批果樹(shù)的生長(zhǎng)情況，若從該農(nóng)場(chǎng)培育的這批“盆栽果樹(shù)”中隨機(jī)抽取4棵，求其中“優(yōu)品盆栽”的棵樹(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：

.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，直線l：x+2y=4與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)T．

（I）求橢圓C的方程和點(diǎn)T的坐標(biāo)；

（Ⅱ）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，與OT平行的直線l′與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，直線l′與直線l交于點(diǎn)P，試判斷是否為定值，若是請(qǐng)求出定值，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=2lnx+1．

（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；

（2）設(shè)a>0時(shí)，討論函數(shù)g（x）=的單調(diào)性．

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