【題目】正整數(shù)數(shù)列滿足,試求通項公式

【答案】

【解析】

據(jù)條件知,數(shù)列嚴格遞增.于是,

先在條件式中取,得到

. ①

據(jù)式①左端得

. ②

又由式①右端得,且

. ③

據(jù)式②、③得整數(shù)

再對條件式中取,得到,

. ④

由式④左端得

由式④右端得,即

,所以,.故

繼而在已知式中取,得,

. ⑤

為正整數(shù),故式⑤右端恒成立.

而由式⑤左端有,故,得

,,,猜想. ⑥

首先,若將式⑥代入已知式得

,或

此式顯然成立.

下證:是滿足條件的唯一數(shù)列.

歸納時已驗證若式對于成立,則對于,據(jù)已知式有

. ⑦

由式⑦右端得

. ⑧

(這里用到,當時, .)

據(jù)式⑦左端得,

. ⑨

其判別式

設(shè)與式⑨對應(yīng)的關(guān)于的一元二次方程的兩根為

. ⑩

(這里用到,當時, .)

據(jù)式⑧、⑩得

故由歸納法知,對任意的,式⑥成立,即

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