【題目】在正方體中,
、
分別為
、
的中點(diǎn),
,
,如圖.
(1)若交平面
于點(diǎn)
,證明:
、
、
三點(diǎn)共線;
(2)線段上是否存在點(diǎn)
,使得平面
平面
,若存在確定
的位置,若不存在說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)存在,且.
【解析】
(1)先得出為平面
與平面
的交線,然后說(shuō)明點(diǎn)
是平面
與平面
的公共點(diǎn),即可得出
、
、
三點(diǎn)共線;
(2)設(shè),過(guò)點(diǎn)
作
交
于點(diǎn)
,然后證明出平面
平面
,再確定出點(diǎn)
在
上的位置即可.
(1),
平面
,
平面
,所以,點(diǎn)
是平面
和平面
的一個(gè)公共點(diǎn),同理可知,點(diǎn)
也是平面
和平面
的公共點(diǎn),則平面
和平面
的交線為
,
平面
,
平面
,所以,點(diǎn)
也是平面
和平面
的公共點(diǎn),由公理三可知,
,因此,
、
、
三點(diǎn)共線;
(2)如下圖所示:
設(shè),過(guò)點(diǎn)
作
交
于點(diǎn)
,
下面證明平面平面
.
、
分別為
、
的中點(diǎn),
,
平面
,
平面
,
平面
.
又,
平面
,
平面
,
平面
,
,
、
平面
,因此,平面
平面
.
下面來(lái)確定點(diǎn)的位置:
、
分別為
、
的中點(diǎn),所以,
,且
,則點(diǎn)
為
的中點(diǎn),
易知,即
,又
,所以,四邊形
為平行四邊形,
,
四邊形
為正方形,且
,則
為
的中點(diǎn),所以,點(diǎn)
為
的中點(diǎn),
,
因此,線段上是否存在點(diǎn)
,且
時(shí),平面
平面
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】俗話說(shuō)“三個(gè)臭皮匠,頂個(gè)諸葛亮”,從數(shù)學(xué)角度解釋這句話的含義.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知半徑為的圓的圓心在
軸上,圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù),且與直線
相切.
(Ⅰ)求圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線
與圓相交于
兩點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下,是否存在實(shí)數(shù),使得弦
的垂直平分線
過(guò)點(diǎn)
,若存在,求出實(shí)數(shù)
的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年月湖北潛江將舉辦第六屆“中國(guó)湖北(潛江)龍蝦節(jié)”,為了解不同年齡的人對(duì)“中國(guó)湖北(潛江)龍蝦節(jié)”關(guān)注程度,某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在
歲之間的
人進(jìn)行調(diào)查,經(jīng)統(tǒng)計(jì)“年輕人”與“中老年人”的人數(shù)之比為
.
關(guān)注 | 不關(guān)注 | 合計(jì) | |
年輕人 | |||
中老年人 | |||
合計(jì) |
(1)根據(jù)已知條件完成上面的列聯(lián)表,并判斷能否有
的把握認(rèn)為關(guān)注“中國(guó)湖北(潛江)龍蝦節(jié)”是否和年齡段有關(guān)?
(2)現(xiàn)已用分層抽樣的辦法從中老年人中選取了人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.若再?gòu)倪@
人中選取
人進(jìn)行面對(duì)面詢問(wèn),求事件“選取的
人中恰有
人關(guān)注“中國(guó)湖北(潛江)龍蝦節(jié)””的概率.
附:參考公式,其中
.
臨界值表:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】按照《國(guó)務(wù)院關(guān)于印發(fā)“十三五”節(jié)能減排綜合工作方案的通知》(國(guó)發(fā)[2016〕74號(hào))的要求,到2020年,全國(guó)化學(xué)需氧量排放總量要控制在2001萬(wàn)噸以內(nèi),要比2015年下降10%假設(shè)“十三五”期間每一年化學(xué)需氧量排放總量下降的百分比都相等,2015年后第年的化學(xué)需氧量排放總量最大值為
萬(wàn)噸.
(1)求的解析式;
(2)求2019年全國(guó)化學(xué)需氧量排放總量要控制在多少萬(wàn)噸以內(nèi)(精確到1萬(wàn)噸).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解全市統(tǒng)考情況,從所有參加考試的考生中抽取4000名考生的成績(jī),頻率分布直方圖如下圖所示.
(1)求這4000名考生的半均成績(jī)(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表);
(2)由直方圖可認(rèn)為考生考試成績(jī)z服從正態(tài)分布,其中
分別取考生的平均成績(jī)
和考生成績(jī)的方差
,那么抽取的4000名考生成績(jī)超過(guò)84.81分(含84.81分)的人數(shù)估計(jì)有多少人?
(3)如果用抽取的考生成績(jī)的情況來(lái)估計(jì)全市考生的成績(jī)情況,現(xiàn)從全市考生中隨機(jī)抽取4名考生,記成績(jī)不超過(guò)84.81分的考生人數(shù)為,求
.(精確到0.001)
附:①;
②,則
;
③.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),圓
的圓心為
,半徑為
.
(1)設(shè),求過(guò)點(diǎn)A且與圓
相切的直線方程;
(2)設(shè),直線
過(guò)點(diǎn)A且被圓
截得的弦長(zhǎng)為
,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在
軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線
的焦點(diǎn),離心率等于
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)
作直線
交橢圓
于
兩點(diǎn),交
軸于
點(diǎn),若
,求證
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某中學(xué)高三文科班學(xué)生共有800人參加了數(shù)學(xué)與地理的水平測(cè)試,學(xué)校決定利用隨機(jī)數(shù)表法從中抽取100人進(jìn)行成績(jī)抽樣調(diào)查.抽取的100人的數(shù)學(xué)與地理的水平測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤恚?/span>
人數(shù) | 數(shù)學(xué) | |||
優(yōu)秀 | 良好 | 及格 | ||
地理 | 優(yōu)秀 | 7 | 20 | 5 |
良好 | 9 | 18 | 6 | |
及格 | a | 4 | b |
成績(jī)分為優(yōu)秀、良好、及格三個(gè)等級(jí);橫向,縱向分別表示地理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī),例如:表中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榱己玫墓灿?0+18+4=42人.
(1)在該樣本中,數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率是30%,求a,b的值;
(2)在地理成績(jī)及格的學(xué)生中,已知a≥10,b≥7,求數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少的概率.
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