Question

【題目】在正方體中，、分別為、的中點(diǎn)，，，如圖.

（1）若交平面于點(diǎn)，證明：、、三點(diǎn)共線；

（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面，若存在確定的位置，若不存在說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，且.

【解析】

（1）先得出為平面與平面的交線，然后說(shuō)明點(diǎn)是平面與平面的公共點(diǎn)，即可得出、、三點(diǎn)共線；

（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，然后證明出平面平面，再確定出點(diǎn)在上的位置即可.

（1），平面，平面，所以，點(diǎn)是平面和平面的一個(gè)公共點(diǎn)，同理可知，點(diǎn)也是平面和平面的公共點(diǎn)，則平面和平面的交線為，

平面，平面，所以，點(diǎn)也是平面和平面的公共點(diǎn)，由公理三可知，，因此，、、三點(diǎn)共線；

（2）如下圖所示：

設(shè)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，

下面證明平面平面.

、分別為、的中點(diǎn)，，

平面，平面，平面.

又，平面，平面，平面，

，、平面，因此，平面平面.

下面來(lái)確定點(diǎn)的位置：

、分別為、的中點(diǎn)，所以，，且，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，

易知，即，又，所以，四邊形為平行四邊形，，

四邊形為正方形，且，則為的中點(diǎn)，所以，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，

因此，線段上是否存在點(diǎn)，且時(shí)，平面平面.