【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn),離心率等于.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作直線交橢圓兩點(diǎn),交軸于點(diǎn),若,求證為定值.

【答案】(1);(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)分析題意可得b1,再根據(jù)離心率的表達(dá)式和a,b,c之間的系數(shù)關(guān)系可求得標(biāo)準(zhǔn)方程

(2)將直線與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,再結(jié)合題意即可

(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為為,

由題b=1,.即,

∴橢圓C的方程為.

(2)方法一:設(shè)AB、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1y1),B(x2,y2),M(0,y0).易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0).,

∴(x1,y1y0)=λ1(2-x1,-y1),

A點(diǎn)坐代入到橢圓方程中,得,

去分母整理得.同理,由,

可得,∴λ1,λ2是方程的兩個(gè)根,∴λ1λ2=-10.故λ1λ2為定值.

方法二:設(shè)A、BM點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0).又易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0).顯然直線存在斜率,設(shè)直線的斜率為k,則直線的方程是yk(x-2).將直線的方程代入到橢圓C的方程中,消去y并整理得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0. .

,將各點(diǎn)坐標(biāo)代入得

,

,

λ1λ2為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】下列命題中正確的是(

A.函數(shù)在區(qū)間上有且只有個(gè)零點(diǎn)

B.若函數(shù),則

C.如果函數(shù)上單調(diào)遞增,那么它在上單調(diào)遞減

D.若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則函數(shù)為奇函數(shù)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在正方體中,、分別為的中點(diǎn),,,如圖.

1)若交平面點(diǎn),證明:、、三點(diǎn)共線;

2)線段上是否存在點(diǎn),使得平面平面,若存在確定的位置,若不存在說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù),.

(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;

(2)若有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知在等比數(shù)列{an}中,=2,,=128,數(shù)列{bn}滿足b1=1,b2=2,且{}為等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如下圖是2017年第一季度五省GDP情況圖,則下列陳述中不正確的是( )

A. 2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.

B. 與去年同期相比,2017年第一季度的GDP總量實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng).

C. 去年同期河南省的GDP總量不超過(guò)4000億元 .

D. 2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個(gè).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知常數(shù),在數(shù)列中,首項(xiàng),是其前項(xiàng)和,且.

1)設(shè),,證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求出的通項(xiàng)公式;

2)設(shè),證明數(shù)列是等差數(shù)列,并求出的通項(xiàng)公式;

3)若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),數(shù)列取到最小值,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在人群流量較大的街道,有一中年人吆喝送錢,只見(jiàn)他手拿一黑色小布袋,袋中有3只黃色、3只白色的乒乓球(其體積、質(zhì)地完成相同),旁邊立著一塊小黑板寫道:

摸球方法:從袋中隨機(jī)摸出3個(gè)球,若摸得同一顏色的3個(gè)球,攤主送給摸球者5元錢;若摸得非同一顏色的3個(gè)球,摸球者付給攤主1元錢.

1)摸出的3個(gè)球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌伲?

2)摸出的3個(gè)球?yàn)?/span>2個(gè)黃球1個(gè)白球的概率是多少?

3)假定一天中有100人次摸獎(jiǎng),試從概率的角度估算一下這個(gè)攤主一個(gè)月(按30天計(jì))能賺多少錢?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知,,點(diǎn)滿足,記點(diǎn)的軌跡為.

(1)求軌跡的方程;

(2)若直線過(guò)點(diǎn)且與軌跡交于、兩點(diǎn).

(i)無(wú)論直線繞點(diǎn)怎樣轉(zhuǎn)動(dòng),在軸上總存在定點(diǎn),使恒成立,求實(shí)數(shù)的值.

(ii)在(i)的條件下,求面積的最小值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案