Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）設(shè) ，且a＞1，討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性和極值點(diǎn)．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．

當(dāng)a=3時(shí)， ，

f'（1）=﹣1，f（1）=0．

所以曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為x+y﹣1=0

（2）解： ，x＞0，a＞1，

，

令F（x）=x2+2（1﹣a）x+1，其對稱軸為x=a﹣1＞0，△=4a（a﹣2）

①當(dāng)△≤0，即1＜a≤2，F(xiàn)（x）≥0，g'（x）≥0，

g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，無極值．

②當(dāng)△＞0，即a＞2，

令g'（x）＞0，則 ，

令g'（x）＜0，則

所以，增區(qū)間為

減區(qū)間為

所以，極大值點(diǎn)是 ，極小值點(diǎn)是

綜上：當(dāng)1＜a≤2時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，無極值．

當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）在 上單調(diào)遞增，

在 上單調(diào)遞減；

極大值點(diǎn)是 ，極小值點(diǎn)是

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值點(diǎn)即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．