【題目】如圖，空間幾何體，△、△、△均是邊長為2的等邊三角形，平面平面，且平面平面，為中點．

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）分別取，中點，，連接，，，，，通過面面平行的判定定理，證得面面，從而證得平面.（2）方法一（向量法）：以點為原點，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算二面角的余弦值.方法二（幾何法）：過點作垂線，垂足為，連接.由此作出二面角的平面角并證明，解直角三角形求得二面角的余弦值.

（1）分別取，中點，，連接，，，，

由面面且交于，平面，有面

由面面且交于，平面，有面

所以,，所以，

由有，

，所以，

,所以面面，所以

（2）

法1：以點為原點，以為軸，以為軸，以為軸，建立如圖所示空間直角坐標系

由面，所以面的法向量可取

點,點,點，

,，

設(shè)面的法向量，所以，取

設(shè)二面角的平面角為，據(jù)判斷其為銳角.

法2：過點作垂線，垂足為，連接.

由（1）問可知又因為，所以平面，則有.

所以為二面角的平面角.

由題可知，所以,則

所以，

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