Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝x3﹣4x2+5x﹣4.

（1）求曲線f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程：

（2）若g（x）＝f（x）+k，求g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）x﹣y﹣4＝0（2）答案不唯一，具體見解析

【解析】

（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求得（2）與（2），利用直線方程點(diǎn)斜式求曲線在點(diǎn)，（2）處的切線方程；（2）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性與極值，作出圖象，數(shù)形結(jié)合得答案．

（1）∵f（x）＝x3﹣4x2+5x﹣4，∴f′（x）＝3x2﹣8x+5，

∴f′（2）＝1，又f（2）＝﹣2，

∴曲線f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y﹣（﹣2）＝x﹣2，

即x﹣y﹣4＝0；

（2）g（x）＝f（x）+k的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即y＝f（x）與y＝﹣k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

由f′（x）＝0，可得x＝1或x，

當(dāng)x∈（﹣∞，1）∪（）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，）時(shí)，f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，1），（）上單調(diào)遞增，在（1，）上單調(diào)遞減，

∴f（x）極大值＝f（1）＝﹣2，.

如圖所示，

∴﹣k∈（﹣∞，）∪（﹣2，+∞）時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)，﹣k∈（，﹣2）時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn)，

﹣k或﹣k＝﹣2時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn).

綜上所述，k∈（﹣∞，2）∪（，+∞）時(shí)，g（x）有1個(gè)零點(diǎn)，

k∈（2，）時(shí)，g（x）有3個(gè)零點(diǎn)，

k或2時(shí)，g（x）有2個(gè)零點(diǎn).