Question

【題目】已知橢圓的左焦點為F，點，過M的直線與橢圓E交于A，B兩點，線段AB中點為C，設(shè)橢圓E在A，B兩點處的切線相交于點P，O為坐標原點．

（1）證明：O、C、P三點共線；

（2）已知是拋物線的弦，所在直線過該拋物線的準線與y軸的交點，是弦在兩端點處的切線的交點，小明同學猜想：在定直線上．你認為小明猜想合理嗎？若合理，請寫出所在直線方程；若不合理，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析； （2）合理，在直線上

【解析】

（1）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)韋達定理，利用導數(shù)求得任一點處切線的斜率，從而解得切線方程，得到點的坐標，由即可容易判斷；

（2）聯(lián)立的方程和拋物線方程，利用導數(shù)求得處的切線方程，結(jié)合已知條件，即可容易證明.

（1）設(shè)，，直線AB的方程為．聯(lián)立

，消去x整理得，

由﹐得或

，

由橢圓對稱性，設(shè)是橢圓在x軸上方的任意一點，

則由，得﹐

所以在處的切線斜率為，

故在處切線方程為，

結(jié)合化簡得

切線PA方程為：，同理，

聯(lián)立兩切線方程消去y得，

聯(lián)立解得，

由AB中點及可得

，、C、P三點共線．

（2）合理，在直線上．

證明如下：設(shè)，，

直線斜率一定存在，

聯(lián)立消去y得，

，

由得，．

拋物線在處的切線方程為，

同理在處的切線方程為

聯(lián)立解得，

故在直線上．