【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若存在兩個極值點(diǎn)，且關(guān)于的方程恰有三個實(shí)數(shù)根，，，求證：.

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求導(dǎo)后按照、、分類討論，求出、的解集即可得解；

（2）構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)后可得即可得；同理可得，即可得證.

（1）由題意得，

令即，，

①當(dāng)時，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時，，

的兩根為，，

（i）當(dāng)即時，，

所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；

所以在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；

（ii）當(dāng)即時，，

所以當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

則在上單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增；

（2）證明：由題意得，，，

令，

則

，

由（1）知，

則

又，可知對于均有，

所以，所以，

由可得，

結(jié)合函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得即，

令，

同理可得，

由可得當(dāng)時，，

所以，所以，

由可得，

結(jié)合函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得即，

所以即，得證.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中，它的體積是底面△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，在底面的射影是D，且D為BC的中點(diǎn).

(1)求側(cè)棱與底面ABC所成角的大�。�

(2)求異面直線與所成角的大小.

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【題目】已知函數(shù)

（I）若，求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間；

（II）若在區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過M的直線與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)為C，設(shè)橢圓E在A，B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）證明：O、C、P三點(diǎn)共線；

（2）已知是拋物線的弦，所在直線過該拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)，是弦在兩端點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)，小明同學(xué)猜想：在定直線上．你認(rèn)為小明猜想合理嗎？若合理，請寫出所在直線方程；若不合理，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)，若在上恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時，若在上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，數(shù)列中的每一項(xiàng)均在集合中，且任意兩項(xiàng)不相等，又對于任意的整數(shù)，均有．例如時，數(shù)列為或．

（1）當(dāng)時，試求滿足條件的數(shù)列的個數(shù)；

（2）當(dāng)，求所有滿足條件的數(shù)列的個數(shù)．

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【題目】為了讓居民了解垃圾分類，養(yǎng)成垃圾分類的習(xí)慣，讓綠色環(huán)保理念深入人心．某市將垃圾分為四類：可回收物，餐廚垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四類由10位同學(xué)組成四個宣傳小組，其中可回收物與餐廚垃圾宣傳小組各有2位同學(xué)，有害垃圾與其他垃圾宣傳小組各有3位同學(xué)．現(xiàn)從這10位同學(xué)中選派5人到某小區(qū)進(jìn)行宣傳活動，則每個宣傳小組至少選派1人的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(2)證明：在區(qū)間上有且僅有個零點(diǎn).

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