Question

【題目】如圖是一座橋的截面圖，橋的路面由三段曲線構成，曲線AB和曲線DE分別是頂點在路面A、E的拋物線的一部分，曲線BCD是圓弧，已知它們在接點B、D處的切線相同，若橋的最高點C到水平面的距離H=6米，圓弧的弓高h=1米，圓弧所對的弦長BD=10米．
（1）求弧 所在圓的半徑；
（2）求橋底AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：設弧 所在圓的半徑為r（r＞0），由題意得r2=52+（r﹣1）2，則r=13，

即弧 所在圓的半徑為13米

（2）解：以線段AE所在直線為x軸，線段AE的中垂線為y軸，建立如圖的平面直角坐標系．∵H=6米，BD=10米，弓高h=1米，

∴B（﹣5，5），D（5，5），C（0，6），設 所在圓的方程為x2+（y﹣b）2=r2，（r＞0），

則 ， ，

∴弧 的方程為x2+（y+7）2=169（5≤y≤6）

設曲線AB所在拋物線的方程為：y=a（x﹣m）2

由點B（﹣5，5），在曲線AB上

∴5=a（5+m）2，

又弧 與曲線段AB在接點B處的切線相同，且弧 在點B處的切線的斜率為 ，

由y=a（x﹣m）2，y′=2a（x﹣m），2a（﹣5﹣m）= ，

2a（5+m）=﹣ ，

由得m=﹣29，A（﹣29，0），E（29，0）

∴橋底AE的長為58米

【解析】（1）由r2=52+（r﹣1）2 ， 即可求得r，即可求得弧 所在圓的半徑；（2）建立直角坐標系，由題意設 所在圓的方程，列方程組，即可求得圓的方程，曲線AB所在拋物線的方程為：y=a（x﹣m）2 ， 求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，即可求得m的值，求得A和E點坐標，即可求得橋底AE的長為58米．