【題目】已知各項不為零的數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且a1=1,Sn=panan+1(n∈N*),p∈R.
(1)若a1 , a2 , a3成等比數(shù)列,求實數(shù)p的值;
(2)若a1 , a2 , a3成等差數(shù)列,
①求數(shù)列{an}的通項公式;
②在an與an+1間插入n個正數(shù),共同組成公比為qn的等比數(shù)列,若不等式(qn)(n+1)(n+a)≤e對任意的n∈N*恒成立,求實數(shù)a的最大值.
【答案】
(1)
解:當(dāng)n=1時,a1=pa1a2, ,當(dāng)n=2時,a1+a2=pa2a3, ,
由 得 ,即p2+p﹣1=0,解得:
(2)
解:①由2a2=a1+a3得 ,故a2=2,a3=3,所以 ,
當(dāng)n≥2時, ,
因為an≠0,所以an+1﹣an﹣1=2
故數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項組成以1為首項2為公差的等差數(shù)列,
其通項公式
同理,數(shù)列{an}的所有偶數(shù)項組成以2為首項2為公差的等差數(shù)列,
其通項公式是
所以數(shù)列{an}的通項公式是an=n
②an=n,在n與n+1間插入n個正數(shù),組成公比為qn的等比數(shù)列,故有 ,
即
所以 ,即 ,兩邊取對數(shù)得 ,
分離參數(shù)得 恒成立
令 ,x∈(1,2],則 ,x∈(1,2],…(12分)
令 ,x∈(1,2],則 ,
下證 ,x∈(1,2],
令 ,則 ,所以g(x)>0,
即 ,用 替代x可得 ,x∈(1,2],
所以 ,所以f(x)在(1,2]上遞減,
所以
【解析】(1)利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的性質(zhì)即可得出p.(2)①利用遞推關(guān)系、等差數(shù)列的性質(zhì)即可得出an . ②an=n,在n與n+1間插入n個正數(shù),組成公比為qn的等比數(shù)列,故有 ,即 ,即 ,兩邊取對數(shù)得 ,分離參數(shù)得 恒成立.令 ,x∈(1,2],則 ,x∈(1,2],令 ,x∈(1,2],利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出.
【考點精析】通過靈活運用數(shù)列的通項公式,掌握如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式即可以解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列,滿足數(shù)列的通項公式為
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)將數(shù)列,中的公共項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列,請直接寫出數(shù)列的通項公式;
(3)記,是否存在正整數(shù) ,使得成等差數(shù)列?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(I)若a=1,求在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值;
(II)解關(guān)于x的不等式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是一座橋的截面圖,橋的路面由三段曲線構(gòu)成,曲線AB和曲線DE分別是頂點在路面A、E的拋物線的一部分,曲線BCD是圓弧,已知它們在接點B、D處的切線相同,若橋的最高點C到水平面的距離H=6米,圓弧的弓高h(yuǎn)=1米,圓弧所對的弦長BD=10米.
(1)求弧 所在圓的半徑;
(2)求橋底AE的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx-2上至少存在一點,使得以該點為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點,則k的最大值是____________.
【答案】
【解析】∵圓C的方程可化為(x-4)2+y2=1,∴圓C的圓心為(4,0),半徑為1.由題意知,直線y=kx-2上至少存在一點A(x0,kx0-2),以該點為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點,∴存在x0∈R,使得AC≤1+1成立,即ACmin≤2.
∵ACmin即為點C到直線y=kx-2的距離,
∴≤2,解得0≤k≤.∴k的最大值是.
【題型】填空題
【結(jié)束】
15
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線.
(1)若直線與直線平行,求實數(shù)的值;
(2)若, ,點在直線上,已知的中點在軸上,求點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓M:與軸相切.
(1)求的值;
(2)求圓M在軸上截得的弦長;
(3)若點是直線上的動點,過點作直線與圓M相切,為切點,求四邊形面積的最小值.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】試題分析:(1)先將圓的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程,利用直線和圓相切進(jìn)行求解;(2) 令,得到關(guān)于的一元二次方程進(jìn)行求解;(3)將四邊形的面積的最小值問題轉(zhuǎn)化為點到直線的的距離進(jìn)行求解.
試題解析:(1) ∵圓M:與軸相切
∴ ∴
(2) 令,則 ∴
∴
(3)
∵的最小值等于點到直線的距離,
∴ ∴
∴四邊形面積的最小值為.
【題型】解答題
【結(jié)束】
20
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,圓的方程為,且圓與軸交于, 兩點,設(shè)直線的方程為.
(1)當(dāng)直線與圓相切時,求直線的方程;
(2)已知直線與圓相交于, 兩點.
(ⅰ)若,求實數(shù)的取值范圍;
(ⅱ)直線與直線相交于點,直線,直線,直線的斜率分別為, , ,
是否存在常數(shù),使得恒成立?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量m (sin ,1), =(1, cos ),函數(shù)f(x)=
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若f(α﹣ )= ,求f(2α+ )的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) , .
(I)求 的單調(diào)區(qū)間;
(II)若對任意的 ,都有 ,求實數(shù) 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的離心率為 ,且經(jīng)過點 是橢圓的左、右焦點.
(1)求橢圓 的方程;
(2)點 在橢圓上運動,求 的最大值.
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