【題目】(題文)已知是直線上的動點,點的坐標是,過的直線垂直,并且與線段的垂直平分線相交于點 .

(1)求點的軌跡的方程;

(2)設(shè)曲線上的動點關(guān)于軸的對稱點為,點的坐標為,直線與曲線的另一個交點為(不重合),是否存在一個定點,使得三點共線?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2)存在定點,使得三點共線

【解析】試題分析:()由題意可知:,即曲線為拋物線,焦點坐標為,點的軌跡的方程;()設(shè),則,直線的方程,代入拋物線方程,求得的坐標,的方程為,則令,則,直線軸交于定點,即可求得存在一個定點,使得三點共線.

試題解析:(Ⅰ)依題意,,即曲線為拋物線,其焦點為,準線方程為,所以曲線的方程為

(Ⅱ)設(shè),則,

直線的斜率為,直線的方程為

由方程組

設(shè),則,,所以,

,所以的方程為

,得.即直線軸交于定點

因此存在定點,使得,,三點共線.

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【題目】為了引導(dǎo)居民合理用水,某市決定全面實施階梯水價.階梯水價原則上以住宅(一套住宅為一戶)的月用水量為基準定價,具體劃分標準如表:

階梯級別

第一階梯水量

第二階梯水量

第三階梯水量

月用水量范圍(單位:立方米)

從本市隨機抽取了10戶家庭,統(tǒng)計了同一月份的月用水量,得到如圖莖葉圖:

(1)現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3家,求取到第二階梯水量的戶數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望;

(2)用抽到的10戶家庭作為樣本估計全市的居民用水情況,從全市依次隨機抽取10戶,若抽到戶月用水量為二階的可能性最大,求的值.

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(1)求頻率直方圖中a的值;

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【題目】如圖,正方體的棱長為4,動點E,F在棱上,動點P,Q分別在棱ADCD上。若,,大于零),則四面體PEFQ的體積

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【題目】分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué).分形的外表結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜,但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的.一個數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式,即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng).下面我們用分形的方法來得到一系列圖形,如圖1,線段的長度為a,在線段上取兩個點,,使得,以為一邊在線段的上方做一個正六邊形,然后去掉線段,得到圖2中的圖形;對圖2中的最上方的線段作相同的操作,得到圖3中的圖形;依此類推,我們就得到了以下一系列圖形:

記第個圖形(圖1為第1個圖形)中的所有線段長的和為,現(xiàn)給出有關(guān)數(shù)列的四個命題:

①數(shù)列是等比數(shù)列;

②數(shù)列是遞增數(shù)列;

③存在最小的正數(shù),使得對任意的正整數(shù) ,都有 ;

④存在最大的正數(shù),使得對任意的正整數(shù),都有

其中真命題的序號是________________(請寫出所有真命題的序號).

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