【題目】已知函數(shù),曲線在原點處的切線為.

(1)證明:曲線軸正半軸有交點;

(2)設曲線軸正半軸的交點為,曲線在點處的切線為直線,求證:曲線上的點都不在直線的上方;

(3)若關于的方程為正實數(shù))有不等實根,求證:.

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】分析:(1)求得,,解得利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合零點存在定理可得結(jié)果;(2)曲線在點處的切線,令,可證明對任意實數(shù)都有,即對任意實數(shù)都有,從而可得結(jié)論;(3)因為,所以為減函數(shù),設方程的根為,由(2)可知,所以,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,構造函數(shù),可得,從而可得結(jié)論.

詳解(1)求得,由已知得:,解得

,所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,又,所以,存在

使得,即曲線軸正半軸有交點

(2)曲線在點處的切線,令,則,又,當時,單調(diào)遞增,當時,單調(diào)遞減,所以對任意實數(shù)都有,即對任意實數(shù)都有,

故曲線上的點都不在直線的上方;

(3)因為,所以為減函數(shù),設方程的根為,由(2)可知,

所以

,則,當時,單調(diào)遞增,當時,,單調(diào)遞減,所以,對任意的實數(shù),都有,即,

設方程的根,則,所以

于是,令,又,則,所以上為增函數(shù),又,所以,,所以.

練習冊系列答案
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【題目】已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1交于點M、N兩點.
(1)求k的取值范圍;
(2)若 =12,其中O為坐標原點,求|MN|.

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【題目】已知a∈R,i是虛數(shù)單位,命題p:在復平面內(nèi),復數(shù)z1=a+ 對應的點位于第二象限;命題q:復數(shù)z2=a﹣i的模等于2,若p∧q是真命題,則實數(shù)a的值等于(
A.﹣1或1
B.
C.
D.

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【題目】某商場銷售某種品牌的空調(diào)器,每周周初購進一定數(shù)量的空調(diào)器,商場每銷售一臺空調(diào)器可獲利500元,若供大于求,則每臺多余的空調(diào)器需交保管費100元;若供不應求,則可從其他商店調(diào)劑供應,此時每臺空調(diào)器僅獲利潤200元. (Ⅰ)若該商場周初購進20臺空調(diào)器,求當周的利潤(單位:元)關于當周需求量n(單位:臺,n∈N)的函數(shù)解析式f(n);
(Ⅱ)該商場記錄了去年夏天(共10周)空調(diào)器需求量n(單位:臺),整理得表:

周需求量n

18

19

20

21

22

頻數(shù)

1

2

3

3

1

以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,若商場周初購進20臺空調(diào)器,X表示當周的利潤(單位:元),求X的分布列及數(shù)學期望.

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【題目】一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)與一定范圍內(nèi)的溫度有關,現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6組觀測數(shù)據(jù)如下表:

溫度

21

23

24

27

29

32

產(chǎn)卵數(shù)/個

6

11

20

27

57

77

(1)若用線性回歸模型,求關于的回歸方程(精確到0.1);

(2)若用非線性回歸模型求的回歸方程為,且相關指數(shù)

①試與(1)中的線性回歸模型相比,用說明哪種模型的擬合效果更好.

②用擬合效果好的模型預測溫度為時該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)(結(jié)果取整數(shù)).

附:一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計為;相關指數(shù).

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【題目】某輪胎集團有限公司生產(chǎn)的輪胎的寬度 (單位: )服從正態(tài)分布,公司規(guī)定:輪胎寬度不在內(nèi)將被退回生產(chǎn)部重新生產(chǎn).

(1)求此輪胎不被退回的概率(結(jié)果精確到);

(2)現(xiàn)在該公司有一批輪胎需要進行初步質(zhì)檢,檢驗方案是從這批輪胎中任取件作檢驗,這件產(chǎn)品中至少有件不被退回生產(chǎn)部,則稱這批輪胎初步質(zhì)檢合格.

()求這批輪胎初步質(zhì)檢合格的概率;

()若質(zhì)檢部連續(xù)質(zhì)檢了批輪胎,記為這批輪胎中初步質(zhì)檢合格的批數(shù),求的數(shù)學期望.

附:若,則 .

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(2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

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A. B.

C. D.

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(2)極坐標方程為的直線, 兩點,求線段的長.

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