【題目】已知函數(shù),曲線在原點處的切線為.
(1)證明:曲線與軸正半軸有交點;
(2)設曲線與軸正半軸的交點為,曲線在點處的切線為直線,求證:曲線上的點都不在直線的上方;
(3)若關于的方程(為正實數(shù))有不等實根,求證:.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析.
【解析】分析:(1)求得,由,解得,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合零點存在定理可得結(jié)果;(2)曲線在點處的切線,令,可證明對任意實數(shù)都有,即對任意實數(shù)都有,從而可得結(jié)論;(3)因為,所以為減函數(shù),設方程的根為,由(2)可知,所以,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,構造函數(shù),可得,從而可得結(jié)論.
詳解:(1)求得,由已知得:,解得,
即,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,又,所以,存在,
使得,即曲線與軸正半軸有交點;
(2)曲線在點處的切線,令,則,又,當時,單調(diào)遞增,當時,單調(diào)遞減,所以對任意實數(shù)都有,即對任意實數(shù)都有,
故曲線上的點都不在直線的上方;
(3)因為,所以為減函數(shù),設方程的根為,由(2)可知,
所以,
記,則,當時,單調(diào)遞增,當時,,單調(diào)遞減,所以,對任意的實數(shù),都有,即,
設方程的根,則,所以,
于是,令,又,則,所以在上為增函數(shù),又,所以,,所以.
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【題目】已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1交于點M、N兩點.
(1)求k的取值范圍;
(2)若 =12,其中O為坐標原點,求|MN|.
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【題目】已知a∈R,i是虛數(shù)單位,命題p:在復平面內(nèi),復數(shù)z1=a+ 對應的點位于第二象限;命題q:復數(shù)z2=a﹣i的模等于2,若p∧q是真命題,則實數(shù)a的值等于( )
A.﹣1或1
B. 或
C.
D.
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【題目】某商場銷售某種品牌的空調(diào)器,每周周初購進一定數(shù)量的空調(diào)器,商場每銷售一臺空調(diào)器可獲利500元,若供大于求,則每臺多余的空調(diào)器需交保管費100元;若供不應求,則可從其他商店調(diào)劑供應,此時每臺空調(diào)器僅獲利潤200元. (Ⅰ)若該商場周初購進20臺空調(diào)器,求當周的利潤(單位:元)關于當周需求量n(單位:臺,n∈N)的函數(shù)解析式f(n);
(Ⅱ)該商場記錄了去年夏天(共10周)空調(diào)器需求量n(單位:臺),整理得表:
周需求量n | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
頻數(shù) | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 |
以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,若商場周初購進20臺空調(diào)器,X表示當周的利潤(單位:元),求X的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)與一定范圍內(nèi)的溫度有關,現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6組觀測數(shù)據(jù)如下表:
溫度 | 21 | 23 | 24 | 27 | 29 | 32 |
產(chǎn)卵數(shù)/個 | 6 | 11 | 20 | 27 | 57 | 77 |
(1)若用線性回歸模型,求關于的回歸方程(精確到0.1);
(2)若用非線性回歸模型求關的回歸方程為,且相關指數(shù)
①試與(1)中的線性回歸模型相比,用說明哪種模型的擬合效果更好.
②用擬合效果好的模型預測溫度為時該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)(結(jié)果取整數(shù)).
附:一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計為;相關指數(shù).
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【題目】某輪胎集團有限公司生產(chǎn)的輪胎的寬度 (單位: )服從正態(tài)分布,公司規(guī)定:輪胎寬度不在內(nèi)將被退回生產(chǎn)部重新生產(chǎn).
(1)求此輪胎不被退回的概率(結(jié)果精確到);
(2)現(xiàn)在該公司有一批輪胎需要進行初步質(zhì)檢,檢驗方案是從這批輪胎中任取件作檢驗,這件產(chǎn)品中至少有件不被退回生產(chǎn)部,則稱這批輪胎初步質(zhì)檢合格.
()求這批輪胎初步質(zhì)檢合格的概率;
()若質(zhì)檢部連續(xù)質(zhì)檢了批輪胎,記為這批輪胎中初步質(zhì)檢合格的批數(shù),求的數(shù)學期望.
附:若,則 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知: =(﹣ sinωx,cosωx), =(cosωx,cosωx),ω>0,記函數(shù)f(x)= ,且f(x)的最小正周期為π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】兩條平行直線和圓的位置關系定義為:若兩條平行直線和圓有四個不同的公共點,則稱兩條平行線和圓“相交”;若兩平行直線和圓沒有公共點,則稱兩條平行線和圓“相離”;若兩平行直線和圓有一個、兩個或三個不同的公共點,則稱兩條平行線和圓“相切”.已知直線,,和圓:相切,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. 或B. 或
C. 或D. 或
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【題目】在平面直角坐標系中,已知曲線的參數(shù)方程為( 為參數(shù)),以為極點, 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線的普通方程;
(2)極坐標方程為的直線與交 , 兩點,求線段的長.
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