Question

【題目】在四棱錐中， 為正三角形，平面平面， ， ， .

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求三棱錐的體積；

（Ⅲ）在棱上是否存在點，使得平面?若存在，請確定點的位置并證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）；（3）存在，證明見解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ)先證明，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理可得結(jié)論；（Ⅱ）先根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，再根據(jù)棱錐的體積公式可得結(jié)果；（Ⅲ） 為的中點時， 平面，根先證明平面平面，從而可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）因為， ，

所以.

因為平面平面，平面平面 ，

所以平面.

因為平面,

所以平面平面.

（Ⅱ）取的中點,連結(jié).

因為為正三角形，

所以.

因為平面平面，

平面平面 ，

所以平面，

所以為三棱錐的高.

因為為正三角形， ，

所以.

所以 .

（Ⅲ）在棱上存在點，當為的中點時， 平面.

分別取的中點，連結(jié).

所以. 因為， ，

所以.

所以四邊形為平行四邊形.

所以.

因為,

所以平面平面.

因為平面，

所以平面.