Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣2lnx，h（x）=x2﹣x+a．
（1）其求函數(shù)f（x）的極值；
（2）設(shè)函數(shù)k（x）=f（x）﹣h（x），若函數(shù)k（x）在[1，3]上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）=2x﹣ ，令f′（x）=0，∵x＞0，∴x=1，

所以f（x）的極小值為1，無極大值

（2）解：∵

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	_	0	+
f（x）	減	1	增

又∵k（x）=f（x）﹣g（x）=﹣2lnx+x﹣a，

∴k′（x）=﹣ +1，

若k′（x）=0，則x=2

當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，f′（x）＜0；

當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，f′（x）＞0．

故k（x）在x∈[1，2）上遞減，在x∈（2，3]上遞增．

∴ ，∴ ，∴2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是：（2﹣2ln2，3﹣2ln3]

【解析】（I）先在定義域內(nèi)求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來確定極值；（2）先求出函數(shù)k（x）的解析式，然后研究函數(shù)k（x）在[1，3]上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)k（x）在[1，3]上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，建立不等關(guān)系 ，最后解之即可．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．