【題目】已知函數(shù)（，）

（1）討論的單調性；

（2）若對任意，恰有一個零點，求的取值范圍.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）討論的范圍，得出的解的情況，從而得出的單調區(qū)間；
（2）分離參數(shù)可得，令，求出的單調性和值域，從而可得出的范圍．

解法一：（1）依題意，，

令，，

①當時，，，在單調遞增；

②當時，，由得，，

因為，所，設，，

則當時，，所以在單調遞增；

當時，，所以在單調遞減；

當時，，所以在單調遞增；

綜上，當時，在單調遞增；

②當時，在單調遞增，

在單調遞減，在單調遞增.

（2）由得，，記，則，

（i）當時，由（1）知，在單調遞增，

所以在單調遞增，又因為，

當時，，時，

所以當時，對任意恰有一個零點.

（ii）當時，由（1）知，在單調遞增，在單調遞減，

在單調遞增，其中，，

所以，在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，

，所以，

所以極大

極小，

又因為當時，，時，

所以對任意，恰有一個零點，等價于恒成立或恒成立.

設，則，

當時，，所以在單調遞增，

當時，，所以在單調遞減，

又，，

因為，所以，所以，，

所以的值域為，的值域為，

即的值域為，的值域為，

所以，所以，

綜上，的取值范圍為.

解法二：（1）同解法一；

（2）（i）當時，由（1）知，在單調遞增，

又因為，

所以取，則，取，則，

所以，所以在恰有一個零點，所以；

（ii）當時，由（1）知，在單調遞增，在單調遞減，

在單調遞增，其中，，

，所以，

所以極大，

極小，

設，則，

當時，，所以在單調遞增，+

當時，，所以在單調遞減，

又，，

因為，所以，所以，，

①當時，，，

即，，所以當時，，

在不存在零點，

當時，取，則，

又因為，所以在恰有一個零點，所以恰有一個零點；.

②當時，因為，當時，，

所以，所以在恰有一個零點，

當時，，

所以，所以在恰有一個零點，

即，則，

則，

所以在單調遞減，所以，

所以，即，

因為，，且在單調遞減，

所以，即，所以，

所以，因為，，，

所以存在，滿足，所以，，

所以

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四邊形中，，，四邊形為矩形，且平面，.

（1）求證：平面；

（2）點在線段上運動，當點在什么位置時，平面與平面所成銳二面角最大，并求此時二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示的幾何體中，是菱形，，平面，，.

（1）求證：平面平面；

（2）求平面與平面構成的二面角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓經(jīng)過點，右焦點到直線的距離為3．

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）過點A作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于M，N兩點，求證：直線MN恒過定點．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．

（1）求曲線C的普通方程；

（2）直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），直線l與x軸交于點F，與曲線C的交點為A，B，當取最小值時，求直線l的直角坐標方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖1，在邊長為2的菱形中，，將沿對角線折起到的位置，使平面平面，是的中點，⊥平面，且，如圖2．

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成角的余弦值；

（3）在線段上是否存在一點，使得⊥平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4—5: 不等式選講

已知函數(shù)f(x)＝ 的定義域為R.

(Ⅰ)求實數(shù)m的取值范圍；

(Ⅱ)若m的最大值為n，當正數(shù)a，b滿足 ＝n時，求7a＋4b的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù)的零點個數(shù)為_____．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，若函數(shù)在，（）處導數(shù)相等，證明：；

（2）是否存在，使直線是曲線的切線，也是曲線的切線，而且這樣的直線是唯一的，如果存在，求出直線方程，如果不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案