【題目】已知函數(shù)

1)當(dāng)時,若函數(shù),)處導(dǎo)數(shù)相等,證明:;

2)是否存在,使直線是曲線的切線,也是曲線的切線,而且這樣的直線是唯一的,如果存在,求出直線方程,如果不存在,請說明理由.

【答案】1)見解析(2)存在,

【解析】

1)求導(dǎo),則,化簡得到,再利用均值不等式到答案.

2)先設(shè)切點求切線方程,再根據(jù)切線重合得關(guān)于一個切點橫坐標(biāo)的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)只有一個零點的情況,即得答案.

1)當(dāng)時,,所以

由題意,得,因為,所以,

所以,所以,

所以

2)曲線在點處的切線方程為:

,

函數(shù)在點處的切線方程,

要存在直線,使是曲線的切線,也是曲線的切線,

只需在處使重合,

所以

由①得代入②整理得,

設(shè),

當(dāng)時,,單調(diào)遞減;

當(dāng)時,,單調(diào)遞增,

,設(shè),

當(dāng)時,單調(diào)遞增;

當(dāng)時,,單調(diào)遞減.

所以

(。┊(dāng)時,,所以,

此時,所以方程有唯一解,

,此時切線方程為;

(ⅱ)當(dāng)時,,

當(dāng)時,,則,

函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減,故,

,同理可證,成立.

因為,則

.

又由當(dāng)時,,可得,

,

所以函數(shù)有兩個零點,

即方程有兩個根,

,此時,,則,

所以,

因為,,所以,所以直線不唯一.

綜上所述,存在,使是曲線的切線,也是曲線的切線,而且這樣的直線是唯一的.

練習(xí)冊系列答案
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星名

水星

金星

地球

火星

木星

土星

與太陽的距離

4

7

10

16

52

100

除水星外,其余各星與太陽的距離都滿足波得定則(某一數(shù)列規(guī)律),當(dāng)時德國數(shù)學(xué)家高斯根據(jù)此定則推算,火星和木星之間距離太陽28還有一顆大行星,1801年,意大利天文學(xué)家皮亞齊經(jīng)過觀測,果然找到了火星和木星之間距離太陽28的谷神星以及它所在的小行星帶,請你根據(jù)這個定則,估算從水星開始由近到遠算,第10個行星與太陽的平均距離大約是(

A.388B.772C.1540D.3076

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