Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

(1)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(2)若對(duì)任意的均有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1);(2)

【解析】

（1）的零點(diǎn)即為方程的根，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，畫出的圖像，通過圖像可得結(jié)果；
（2）表示出，求出其導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出的取值范圍

(1)的零點(diǎn)即為方程的根，

設(shè)，則，

則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，.

因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

且，，，，

從而的大致草圖如下:

由此要使得方程有兩個(gè)不同實(shí)根，則，即.

綜合上述，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為；

(2)設(shè)，下面我們通過討論的單調(diào)性求解的最小值，并保證.

由于，，

則在上單調(diào)遞增，

從而，即.

①當(dāng)，即時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，從而，從而.

②當(dāng)，即時(shí)，則在上存在唯一零點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，，

從而，考慮到，

從而

，

即.

由于是單調(diào)遞增函數(shù)在上的唯一零點(diǎn)，

要使得，則只需，

故只需保證，即，

故實(shí)數(shù).

綜合上述，滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍為.