Question

【題目】如圖，直三棱柱的所有棱長相等，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）當是的中點時，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）設三棱柱的棱長為2，為的中點，連結，易證平面，取的中點，連結，易知直線兩兩垂直，故以為坐標原點，分別以射線的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，從而可證明，，進而可證明平面；

（2）結合（1），分別求出平面、平面的法向量，然后利用空間向量法求出二面角的余弦值，進而可求出答案.

（1）設三棱柱的棱長為2，為的中點，連結，易知，又平面平面，所以平面，取的中點，連結，易知直線兩兩垂直，故以為坐標原點，分別以射線的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，，

則，，，

因為，，所以，，即，，又，所以平面.

（2）由（1）知，，，，

則，，設平面的法向量為，

則，即，令，可得，，可得平面的一個法向量，

平面的一個法向量為，

設二面角的大小為，則，

則.