設(shè)非常數(shù)數(shù)列{an}滿足an+2n∈N*,其中常數(shù)αβ均為非零實(shí)數(shù),且αβ≠0.
(1)證明:數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是α+2β=0;
(2)已知α=1,β, a1=1,a2,求證:數(shù)列{| an1an1|} (n∈N*,n≥2)與數(shù)列{n} (n∈N*)中沒(méi)有相同數(shù)值的項(xiàng).

(1)等差數(shù)列的定義的運(yùn)用,主要是根據(jù)相鄰兩項(xiàng)的差為定值來(lái)證明即可。
(2)由已知得,可知數(shù)列(n∈N*)為等比數(shù)列,進(jìn)而得到,然后結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)來(lái)得到。

解析試題分析:(1)解:已知數(shù)列,.
①充分性:若,則有,得
,所以為等差數(shù)列.                       4分
②必要性:若為非常數(shù)等差數(shù)列,可令(k≠0). 代入
,得.
化簡(jiǎn)得,即.                          
因此,數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是α+2β=0.                     8分
(2)由已知得.                               10分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/09/1/1qxoi3.png" style="vertical-align:middle;" />,可知數(shù)列(n∈N*)為等比數(shù)列,所以 (n∈N*).
從而有n≥2時(shí), ,.
于是由上述兩式,得 ).                12分
由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,對(duì)于任意n≥2,| an1an1|=··.
所以,數(shù)列中項(xiàng)均小于等于.
而對(duì)于任意的n≥1時(shí),n≥1+,所以數(shù)列{n}(n∈N*)中項(xiàng)均大于.
因此,數(shù)列與數(shù)列{n}(n∈N*)中沒(méi)有相同數(shù)值的項(xiàng).
16分
考點(diǎn):等差數(shù)列,等比數(shù)列
點(diǎn)評(píng):解決的關(guān)鍵是對(duì)于概念的準(zhǔn)確運(yùn)用,以及利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明數(shù)列之間的關(guān)系。屬于中檔題。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(1)已知等差數(shù)列,,求的公差;
(2)有三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,它們的和等于14,它們的積等于64,求該數(shù)列的公比.

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已知為等差數(shù)列,且
(1)求數(shù)列的第二項(xiàng);
(2)若成等比數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng).

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已知等差數(shù)列前三項(xiàng)為,前項(xiàng)的和為,=2550.
⑴ 求的值;  
⑵ 求

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已知等差數(shù)列滿足:,,的前n項(xiàng)和為
(Ⅰ)求
(Ⅱ)令bn=(nN*),求數(shù)列的前n項(xiàng)和

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(本題滿分16分)
已知數(shù)列,其中是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列;是公差為的等差數(shù)列;是公差為的等差數(shù)列().
(Ⅰ)若= 30,求;
(Ⅱ)試寫出a30關(guān)于的關(guān)系式,并求a30的取值范圍;
(Ⅲ)續(xù)寫已知數(shù)列,可以使得是公差為3的等差數(shù)列,請(qǐng)你依次類推,把已知數(shù)列推廣為無(wú)窮數(shù)列,試寫出關(guān)于的關(guān)系式(N);
(Ⅳ)在(Ⅲ)條件下,且,試用表示此數(shù)列的前100項(xiàng)和

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已知等差數(shù)列滿足:,,的前n項(xiàng)和為
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)令 bn= (nN*),求數(shù)列的前n項(xiàng)和

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(本小題滿分12分)
等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.
(1)數(shù)列滿足:求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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(本小題滿分12分)
已知等差數(shù)列中,是其前項(xiàng)和,,求:.

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