Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）記，求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

（2）用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程（其中為常數(shù)）在區(qū)間有兩個(gè)不相等的實(shí)根，記在內(nèi)的零點(diǎn)為，試證明：．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理證出結(jié)論即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為證明，根據(jù)在上遞減，即證明，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

試題解析：（1）證明：，

顯然當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，

而，所以由零點(diǎn)存在定理知，

必存在唯一，使得，

即函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

（2）由（1）問可知，且時(shí)，，時(shí)，

因此，

其中滿足即，（事實(shí)上），

而時(shí)，，時(shí)，，

因此在，若方程在區(qū)間有兩個(gè)不相等的實(shí)根，

，則必有，

所證，因?yàn)?/span>在單調(diào)遞減，

所以只需證，而，所以只需證，

即證明：，

構(gòu)造函數(shù)，，

發(fā)現(xiàn)，，

下證明時(shí)，恒成立，

考查函數(shù)，所以在，

所以一定有，

因此，時(shí)，，

即在，所以時(shí)，即成立了．