【題目】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是棱長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)面PAD為正三角形,且面PAD⊥面ABCD,E、F分別為棱AB、PC的中點(diǎn).
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)求三棱錐B-EFC的體積;
(3)求二面角P-EC-D的正切值.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2) (3)
【解析】試題分析:(1)取PD中點(diǎn)G,利用平幾知識(shí)可得EFGA是平行四邊形,即得EF∥AG,再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論,(2)求體積關(guān)鍵在求高:取AD中點(diǎn)O,由面面垂直性質(zhì)定理可得PO⊥面ABCD,即得高為PO一半,再代入錐體體積公式得體積,(3)求二面角關(guān)鍵在作出二面角的平面角,連OB交CE于M,由平幾知識(shí)可得OM⊥EC.再利用三垂線定理可得PM⊥EC,即得∠PMO是二面角P-EC-D的平面角,最后再直角三角形中求∠PMO的正切值即可.
試題解析:
(1)證明:取PD中點(diǎn)G,連結(jié)GF、AG,
∵GF為△PDC的中位線,∴GF∥CD且,
又AE∥CD且,∴GF∥AE且GF=AE,
∴EFGA是平行四邊形,則EF∥AG,
又EF面PAD,AG面PAD,
∴EF∥面PAD;
(2)解:取AD中點(diǎn)O,連結(jié)PO,
∵面PAD⊥面ABCD,△PAD為正三角形,∴PO⊥面ABCD,且,
又PC為面ABCD斜線,F(xiàn)為PC中點(diǎn),∴F到面ABCD距離,
故;
(3)解:連OB交CE于M,可得Rt△EBC≌Rt△OAB,
∴∠MEB=∠AOB,則∠MEB+∠MBE=90°,即OM⊥EC.
連PM,又由(2)知PO⊥EC,可得EC⊥平面POM,則PM⊥EC,
即∠PMO是二面角P-EC-D的平面角,
在Rt△EBC中,,∴,
∴,即二面角P-EC-D的正切值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1是四棱錐的直觀圖,其正(主)視圖和側(cè)(左)視圖均為直角三角形,俯視圖外框?yàn)榫匦,相關(guān)數(shù)據(jù)如圖2所示.
(1)設(shè)中點(diǎn)為,在直線上找一點(diǎn),使得平面,并說(shuō)明理由;
(2)若二面角的平面角的余弦值為,求四棱錐的外接球的表面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四棱錐,底面是,邊長(zhǎng)為的菱形,又底面,且,點(diǎn)、分別是棱、的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求證:平面平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某家具廠有方木料 ,五合板 ,準(zhǔn)備加工成書(shū)桌和書(shū)櫥出售.已知生產(chǎn)每張書(shū)桌需要方木料 ,五合板 ,生產(chǎn)每個(gè)書(shū)櫥需要方木料 ,五合板 ,出售一張書(shū)桌可獲利潤(rùn) 元,出售一個(gè)書(shū)櫥可獲利潤(rùn) 元.
(1)如果只安排生產(chǎn)書(shū)桌,可獲利潤(rùn)多少?
(2)如果只安排生產(chǎn)書(shū)櫥,可獲利潤(rùn)多少?
(3)怎祥安排生產(chǎn)可使所得利潤(rùn)最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在數(shù)列{an}中,Sn為其前n項(xiàng)和,若an>0,且4Sn=an2+2an+1(n∈N*),數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,公比q>1,b1=a1,且2b2,b4,3b3成等差數(shù)列.
(1)求{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)令cn= ,若{cn}的前項(xiàng)和為T(mén)n,求證:Tn<6.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;
(2)對(duì)任意,若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)記,求證:函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn);
(2)用表示中的最小值,設(shè)函數(shù),若關(guān)于的方程(其中為常數(shù))在區(qū)間有兩個(gè)不相等的實(shí)根,記在內(nèi)的零點(diǎn)為,試證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示的幾何體中,為三棱柱,且平面,四邊形為平行四邊形,.
(1)若,求證:平面;
(2)若,二面角的余弦值為,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和,滿足,正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且滿足.
(Ⅰ) 求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式; (Ⅱ) 記,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.
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