Question

【題目】已知直線l經過拋物線y2＝4x的焦點F，且與拋物線相交于A、B兩點．

（1）若AF＝4，求點A的坐標；

（2）求線段AB的長的最小值．

Answer 1

【答案】（1） （3，2）或（3，－2） （2）4

【解析】

試題（1）由y2＝4x，得p=2，其準線方程為x=-1，焦點F（1，0）．設A，B．由拋物線的定義可知，，從而．由此能得到點A的坐標；（2）分類討論，設直線l的方程為y=k（x-1），代入y2＝4x整理得，其兩根為，且．由拋物線的定義可知線段AB的長

試題解析：（1）由拋物線的定義可知，AF＝x1＋，

從而x1＝4－1＝3．

代入y2＝4x，解得y1＝±．

∴點A的坐標為（3，）或（3，－）．

（2）當直線l的斜率存在時，

設直線l的方程為y＝k（x－1）．

與拋物線方程聯立，

消去y，整理得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0，

因為直線與拋物線相交于A、B兩點，

則k≠0，并設其兩根為x1，x2，則

由拋物線的定義可知，

當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝1，與拋物線相交于A（1，2），B（1，－2），

此時AB＝4，所以，AB≥4，即線段AB的長的最小值為4．