【題目】函數(shù)f(x)的定義域D={x|x≠0},且滿足對于任意x1,x2D.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).

(1)f(1)的值;

(2)判斷f(x)的奇偶性并證明;

(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)(0,+∞)上是增函數(shù),求x的取值范圍.

【答案】(1)0(2)偶函數(shù)(3){x|-x<-或-<x<33<x≤5}.

【解析】

(1)利用賦值法求結(jié)果,(2)利用賦值法,結(jié)合奇偶性定義進(jìn)行證明,(3)根據(jù)賦值法得f(16×4)=3,再利用單調(diào)性化簡不等式為0<|(3x+1)(2x-6)|≤64,最后解不等式得結(jié)果.

(1)x1x2=1,

f(1×1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.

(2)f(x)為偶函數(shù),證明如下:

x1x2=-1,

f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1),解得f(-1)=0.

x1=-1,x2x,有f(-x)=f(-1)+f(x),

f(-x)=f(x).f(x)為偶函數(shù).

(3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2,

f(16×4)=f(16)+f(4)=3.

f(3x+1)+f(2x-6)≤3,

變形為f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64).(*)

f(x)為偶函數(shù),∴f(-x)=f(x)=f(|x|).

∴不等式(*)等價(jià)于f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64).

又∵f(x)(0,+∞)上是增函數(shù),

|(3x+1)(2x-6)|≤64,且(3x+1)(2x-6)≠0.

解得-x<-或-<x<33<x≤5.

x的取值范圍是{x|-x<-或-<x<33<x≤5}.

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x

﹣1

0

2

4

5

f(x)

1

2

1.5

2

1

下列關(guān)于函數(shù)f(x)的命題:
①函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇1,2];
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