【題目】如圖，OA，OB是兩條互相垂直的筆直公路，半徑OA＝2km的扇形AOB是某地的一名勝古跡區(qū)域．當(dāng)?shù)卣疄榱司徑庠摴袍E周圍的交通壓力，欲在圓弧AB上新增一個入口P（點(diǎn)P不與A，B重合），并新建兩條都與圓弧AB相切的筆直公路MB，MN，切點(diǎn)分別是B，P．當(dāng)新建的兩條公路總長最小時，投資費(fèi)用最低．設(shè)∠POA＝，公路MB，MN的總長為．

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；

（2）當(dāng)為何值時，投資費(fèi)用最低？并求出的最小值．

【答案】(1) ;(2) 當(dāng)時，投資費(fèi)用最低，此時的最小值為.

【解析】

（1）由題意，設(shè)，利用平面幾何的知識和三角函數(shù)的關(guān)系式及三角恒等變換的公式，即可得函數(shù)的關(guān)系式；

（2）利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式和恒等變換的公式，求得的解析式，再利用基本不等式，即可求得投資的最低費(fèi)用，得到答案.

（1）連接，在中，，故，

據(jù)平面幾何知識可知,

在中，，故，

所以，

顯然，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

即函數(shù)關(guān)系式為，且。

（2）化簡（1）中的函數(shù)關(guān)系式可得：

令，則，代入上式得：

當(dāng)且僅當(dāng)時取“＝”，此時

求得，又，所以

∴當(dāng)時，投資費(fèi)用最低，此時的最小值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某理科考生參加自主招生面試，從7道題中（4道理科題3道文科題）不放回地依次任取3道作答.

（1）求該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率；

（2）規(guī)定理科考生需作答兩道理科題和一道文科題，該考生答對理科題的概率均為，答對文科題的概率均為，若每題答對得10分，否則得零分.現(xiàn)該生已抽到三道題（兩理一文），求其所得總分的分布列與數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．

（1）求，的值；

（2）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=1+x﹣ + ﹣ ﹣…+ ﹣ + ，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.f（x）在（0，1）上恰有一個零點(diǎn)
B.f（x）在（0，1）上恰有兩個零點(diǎn)
C.f（x）在（﹣1，0）上恰有一個零點(diǎn)
D.f（x）在（﹣1，0）上恰有兩個零點(diǎn)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時間的關(guān)系，對該校200名高三學(xué)生的課外體育鍛煉平均每天運(yùn)動的時間進(jìn)行調(diào)查，如下表：(平均每天鍛煉的時間單位：分鐘)

將學(xué)生日均課外體育運(yùn)動時間在上的學(xué)生評價為“課外體育達(dá)標(biāo)”.

平均每天鍛煉的時間(分鐘)

總?cè)藬?shù)

20

36

44

50

40

10

（1）請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并通過計(jì)算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？

課外體育不達(dá)標(biāo)

課外體育達(dá)標(biāo)

合計(jì)

男

女

20

110

合計(jì)

（2）從上述200名學(xué)生中，按“課外體育達(dá)標(biāo)”、“課外體育不達(dá)標(biāo)”分層抽樣，抽取4人得到一個樣本，再從這個樣本中抽取2人，求恰好抽到一名“課外體育不達(dá)標(biāo)”學(xué)生的概率.

參考公式：，其中.

參考數(shù)據(jù)：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知m、n∈R+ ， f（x）=|x+m|+|2x﹣n|．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若f（x）的最小值為2，證明：4（m2+ ）的最小值為8．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)f(x)的定義域D＝{x|x≠0}，且滿足對于任意x1，x2∈D.有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(1)的值；

(2)判斷f(x)的奇偶性并證明；

(3)如果f(4)＝1，f(3x+1)＋f(2x-6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，求x的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，為一臺冷軋機(jī)的示意圖，冷軋機(jī)由若干對軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過各對軋輥逐步減薄后輸出.（軋鋼過程中，鋼帶寬度不變，且不考慮損耗）

一對對軋輥的減薄率.

（1）輸入鋼帶的厚度為，輸出鋼帶的厚度為，若每對軋輥的減薄率不超過，問冷軋機(jī)至少需要安裝幾對軋輥？

（2）已知一臺冷軋機(jī)共有4對減薄率為的軋輥，所有軋輥周長均為，若第對軋輥有缺陷，每滾動一周在剛帶上壓出一個疵點(diǎn)，在冷軋機(jī)輸出的剛帶上，疵點(diǎn)的間距為，易知，為了便于檢修，請計(jì)算，，.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，若數(shù)列也是等比數(shù)列，則等于（ ）

A. 2n B. 3n C. D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案