【題目】己知無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對(duì)于任意的正整數(shù),均有,則稱(chēng)數(shù)列具有性質(zhì).

1)判斷首項(xiàng)為,公比為的無(wú)窮等比數(shù)列是否具有性質(zhì),并說(shuō)明理由;

2)己知無(wú)窮數(shù)列具有性質(zhì),且任意相鄰四項(xiàng)之和都相等,求證:;

3)己知,數(shù)列是等差數(shù)列,,若無(wú)窮數(shù)列具有性質(zhì),求的取值范圍.

【答案】1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3

【解析】

1)因?yàn)槭醉?xiàng)為,公比為的無(wú)窮等比數(shù)列,即可,,即可求得答案;

2)因?yàn)闊o(wú)窮數(shù)列具有性質(zhì),且任意相鄰四項(xiàng)之和都相等,滿(mǎn)足周期性,且,可得,因?yàn)?/span>具備性質(zhì),故滿(mǎn)足:,,采用反證法證明,即可求得答案;

3)數(shù)列是等差數(shù)列,可得的前項(xiàng)和為:,因?yàn)?/span>項(xiàng)和為:,具備性質(zhì),則其中中包含項(xiàng)奇數(shù)項(xiàng),項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng),結(jié)合已知,即可求得答案.

1首項(xiàng)為,公比為的無(wú)窮等比數(shù)列

根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可得:

,

數(shù)列滿(mǎn)足具有性質(zhì).

2無(wú)窮數(shù)列具有性質(zhì),且任意相鄰四項(xiàng)之和都相等

滿(mǎn)足周期性,且

可得

具備性質(zhì)

滿(mǎn)足:,

利用反正法證明:

,則,

得:(注:當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),)

矛盾.

,

,

.證明完畢.

3數(shù)列是等差數(shù)列

的前項(xiàng)和為:,

項(xiàng)和為:

具備性質(zhì),

其中中包含項(xiàng)奇數(shù)項(xiàng),項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng),

有:

其中中包含項(xiàng)奇數(shù)項(xiàng),項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng),

故:

由性質(zhì)

可得,對(duì)任意成立

滿(mǎn)足:,解得:

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】高爾頓板是英國(guó)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型,在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木塊,小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ,前面擋有一塊玻璃,讓一個(gè)小球從高爾頓板上方的通道口落下,小球在下落的過(guò)程中與層層小木塊碰撞,且等可能向左或向右滾下,最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).如圖所示的小木塊中,上面7層為高爾頓板,最下面一層為改造的高爾頓板,小球從通道口落下,第一次與第2層中間的小木塊碰撞,以的概率向左或向右滾下,依次經(jīng)過(guò)6次與小木塊碰撞,最后掉入編號(hào)為1,2…,7的球槽內(nèi).例如小球要掉入3號(hào)球槽,則在前5次碰撞中有2次向右3次向左滾到第6層的第3個(gè)空隙處,再以的概率向左滾下,或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滾到第6層的第2個(gè)空隙處,再以的概率向右滾下.

(1)若進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn),求小球落入第7層第6個(gè)空隙處的概率;

(2)小明同學(xué)在研究了高爾頓板后,利用該圖中的高爾頓板來(lái)到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行盈利性“抽獎(jiǎng)”活動(dòng),8元可以玩一次高爾頓板游戲,小球掉入X號(hào)球槽得到的獎(jiǎng)金為元,其中.

i)求X的分布列:

ii)高爾頓板游戲火爆進(jìn)行,很多同學(xué)參加了游戲,你覺(jué)得小明同學(xué)能盈利嗎?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn)離心率為.

1)求的方程;

2)如圖,若菱形內(nèi)接于橢圓,求菱形面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在某大學(xué)自主招生考生中,所有選報(bào)Ⅱ類(lèi)志向的考生全部參加了數(shù)學(xué)與邏輯閱讀與表達(dá)兩個(gè)科目的考試,成績(jī)分為A,B,C,D,E五個(gè)等級(jí).某考場(chǎng)考生兩科的考試成績(jī)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示,其中數(shù)學(xué)與邏輯科目的成績(jī)?yōu)?/span>B的考生有20.

1)求該考場(chǎng)考生中閱讀與表達(dá)科目中成績(jī)?yōu)?/span>A的人數(shù);

2)若等級(jí)A,B,C,D,E分別對(duì)應(yīng)5分,4分,3分,2分,1.

i)求該考場(chǎng)考生數(shù)學(xué)與邏輯科目的平均分;

ii)若該考場(chǎng)共有7人得分大于7分,其中有210分,29分,38分,從這7中隨機(jī)抽取兩人,求兩人成績(jī)之和大于等于18的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知定義在上的函數(shù)和數(shù)列滿(mǎn)足下列條件:,當(dāng)時(shí),,其中均為非零常數(shù).

1)數(shù)列是等差數(shù)列,求的值;

2)令,若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

3)證明:數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件是.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】六位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù),規(guī)定:

①第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為0.第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為1,之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)之和:

②若報(bào)出的是為3的倍數(shù),則報(bào)該數(shù)的同學(xué)需拍手一次.

當(dāng)?shù)?/span>50個(gè)數(shù)被報(bào)出時(shí),六位同學(xué)拍手的總次數(shù)為__________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某學(xué)校有30位高級(jí)教師,其中60%人愛(ài)好體育鍛煉,經(jīng)體檢調(diào)查,得到如下列聯(lián)表.

身體好

身體一般

總計(jì)

愛(ài)好體育鍛煉

2

不愛(ài)好體育鍛煉

4

總計(jì)

20

1)根據(jù)以上信息完成列聯(lián)表,并判斷有多大把握認(rèn)為“身體好與愛(ài)好體育鍛煉有關(guān)系”?

2)現(xiàn)從身體一般的教師中抽取3人,記3人中愛(ài)好體育鍛煉的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

參考公式:,其中.

臨界值表:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù),

(1)若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與軸平行,求;

(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象恒在軸上方,求的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】給出下列說(shuō)法:①設(shè),,則“”是“”的充分不必要條件;②若,則,使得;③為等比數(shù)列,則“”是“”的充分不必要條件;④命題“,,使得”的否定形式是“,,使得 .其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為( )

A.0B.1C.2D.3

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