【題目】設(shè)函數(shù),

(1)若曲線在點處的切線與軸平行,求

(2)當(dāng)時,函數(shù)的圖象恒在軸上方,求的最大值.

【答案】(Ⅰ)a=e;(Ⅱ)a的最大值為2e;

【解析】

(Ⅰ)先求導(dǎo)數(shù),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率,最后根據(jù)條件列方程解得a;(Ⅱ)先求導(dǎo)數(shù),再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點與1大小分類討論,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)最小值,最后根據(jù)最小值大于零,解得a的取值范圍,即得最大值.

(Ⅰ)∵,∴f'x=exa,∴f'1=ea

由題設(shè)知f'1=0,即ea=0,解得a=e

經(jīng)驗證a=e滿足題意.

(Ⅱ)令f'x=0,即ex=a,則x=lna,

1)當(dāng)lna1時,即0ae

對于任意x∈(-∞,lna)有f'x)<0,故fx)在(-∞,lna)單調(diào)遞減;

對于任意x∈(lna,1)有f'x)>0,故fx)在(lna,1)單調(diào)遞增,

因此當(dāng)x=lna時,fx)有最小值為成立.所以0ae

2)當(dāng)lna≥1時,即ae對于任意x∈(-∞,1)有f'x)<0,

fx)在(-∞,1)單調(diào)遞減,所以fx)>f1).

因為fx)的圖象恒在x軸上方,所以f1)≥0,即a≤2e,

綜上,a的取值范圍為(0,2e],所以a的最大值為2e

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