Question

【題目】如圖，在長方體中，，，分別是面，面，面的中心，，．

（1）求證：平面平面；

（2）求三棱錐的體積；

（3）在棱上是否存在點，使得平面平面？如果存在，請求出的長度；如果不存在，求說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在,

【解析】

（1）延長分別至,由中心可得到中點,利用中位線證明相交直線平行即可證得面面平行；

（2）先求出三棱錐的體積,再由三棱錐各邊的比求出的體積即可；

（3）將平面平面轉化為平面平面,由長方體可得,因為,作出即可,進而求得

（1）證明：延長分別至,

,,分別是面,面,面的中心,

,,是,,的中點,

,,

又,,

平面,平面,

平面平面

（2）由題,

,

由（1）可得,三棱錐的各棱長為三棱錐的,

（3）存在,

是長方體的側棱,

平面,

平面,

,

連接,作,垂足為,

因為長方體,,,,

,

,平面,

平面,

平面,

平面平面,

由（1）,平面平面,

平面平面,

此時,,

,

,即,則,

,

,