【題目】已知定義在上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件:,當(dāng)且時,且,其中均為非零常數(shù).
(1)數(shù)列是等差數(shù)列,求的值;
(2)令,若,求數(shù)列的通項公式;
(3)證明:數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件是.
【答案】(1)1(2)(3)證明見解析
【解析】
(1)由題意知,,得,再由等差數(shù)列,即可求解值;
(2)由,可得,因此,由此可知,數(shù)列是一個公比為的等比數(shù)列.
(3)先進(jìn)行充分性證明:若則數(shù)列是等比數(shù)列;再進(jìn)行必要性證明:若數(shù)列是等比數(shù)列,則.
(1)由已知,,
得,
由數(shù)列是等差數(shù)列,得,
所以,,,
得.
(2)由,可得,
且當(dāng)時,
,
所以,當(dāng)時,,
因此,數(shù)列是一個公比為的等比數(shù)列.
故通項公式為
(3)是等比數(shù)列的充要條件是,
充分性證明:若,則由已知,
得,所以,是等比數(shù)列.
必要性證明:若是等比數(shù)列,由(2)知,,
,
.
當(dāng)時,.上式對也成立,
所以,數(shù)列的通項公式為:.
所以,當(dāng)時,數(shù)列是以為首項,為公差的等差數(shù)列.
所以,.
當(dāng)時,.上式對也成立,
所以,.
所以,.
即,等式對于任意實數(shù)均成立.
所以.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】高爾頓板是英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計用來研究隨機現(xiàn)象的模型,在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊,小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ,前面擋有一塊玻璃,讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下,小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞,且等可能向左或向右滾下,最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).如圖所示的小木塊中,上面7層為高爾頓板,最下面一層為改造的高爾頓板,小球從通道口落下,第一次與第2層中間的小木塊碰撞,以的概率向左或向右滾下,依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞,最后掉入編號為1,2…,7的球槽內(nèi).例如小球要掉入3號球槽,則在前5次碰撞中有2次向右3次向左滾到第6層的第3個空隙處,再以的概率向左滾下,或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滾到第6層的第2個空隙處,再以的概率向右滾下.
(1)若進(jìn)行一次高爾頓板試驗,求小球落入第7層第6個空隙處的概率;
(2)小明同學(xué)在研究了高爾頓板后,利用該圖中的高爾頓板來到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行盈利性“抽獎”活動,8元可以玩一次高爾頓板游戲,小球掉入X號球槽得到的獎金為元,其中.
(i)求X的分布列:
(ii)高爾頓板游戲火爆進(jìn)行,很多同學(xué)參加了游戲,你覺得小明同學(xué)能盈利嗎?
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【題目】國慶70周年慶典磅礴而又歡快的場景,仍歷歷在目.已知慶典中某省的游行花車需要用到某類花卉,而該類花卉有甲、乙兩個品種,花車的設(shè)計團(tuán)隊對這兩個品種進(jìn)行了檢測.現(xiàn)從兩個品種中各抽測了10株的高度,得到如下莖葉圖.下列描述正確的是( )
A.甲品種的平均高度大于乙品種的平均高度,且甲品種比乙品種長的整齊
B.甲品種的平均高度大于乙品種的平均高度,但乙品種比甲品種長的整齊
C.乙品種的平均高度大于甲品種的平均高度,且乙品種比甲品種長的整齊
D.乙品種的平均高度大于甲品種的平均高度,但甲品種比乙品種長的整齊
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《周脾算經(jīng)》有記載:一年有二十四個節(jié)氣,每個節(jié)氣晷(gui)長損益相同,晷是按照日影測定時刻的儀器,晷長即所測定的影子的長度,二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示,相鄰兩個節(jié)氣晷長變化量相同,周而復(fù)始,若冬至晷長最長是一丈三尺五寸,夏至晷長最短是一尺五寸,(一丈等于10尺,一尺等于10寸),則秋分節(jié)氣的晷長是( )
A.七尺五寸B.二尺五寸C.五尺五寸D.四尺五寸
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】由郭帆執(zhí)導(dǎo)吳京主演的電影《流浪地球》于2019年2月5日起在中國內(nèi)地上映,影片引發(fā)了觀影熱潮,預(yù)計《流浪地球》票房收入47億人民幣,超過《紅海行動》成為中國影史票房亞軍,僅次于《戰(zhàn)狼2》.某電影院為了解該影院觀看《流浪地球》的觀眾的年齡構(gòu)成情況,隨機抽取了40名觀眾,將他們的年齡分成7段:,,,,,,,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)試求這40名觀眾年齡的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù);
(2)(i)若從樣本中年齡在50歲以上的觀眾中任取3名贈送VIP貴賓觀影卡,求這3名觀眾至少有1人年齡不低于70歲的概率;
(ii)該電影院決定采用抽獎方式來提升觀影人數(shù),將《流浪地球》電影票票價提高20元,并允許購買電影票的觀眾抽獎3次,中獎1次、2次、3次分別獎現(xiàn)金元、元,元.設(shè)觀眾每次中獎的概率均為,若要使抽獎方案對電影院有利,則最高可定為多少元?(結(jié)果精確到個位)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知無窮數(shù)列的前項和為,若對于任意的正整數(shù),均有,則稱數(shù)列具有性質(zhì).
(1)判斷首項為,公比為的無窮等比數(shù)列是否具有性質(zhì),并說明理由;
(2)己知無窮數(shù)列具有性質(zhì),且任意相鄰四項之和都相等,求證:;
(3)己知,數(shù)列是等差數(shù)列,,若無窮數(shù)列具有性質(zhì),求的取值范圍.
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【題目】橢圓()的離心率等于,它的一個長軸端點恰好是拋物線的焦點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓有且只有一個公共點,且直線與直線和分別交于兩點,試探究以線段為直徑的圓是否恒過定點?若恒過定點,求出該定點,若不恒過定點,請說明理由.
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【題目】自2009年以來,菜鳥網(wǎng)絡(luò)物流和淘寶商城雙十一活動已經(jīng)走過十年,某數(shù)學(xué)興趣小組收集了近五年雙十一當(dāng)天菜鳥網(wǎng)絡(luò)物流訂單數(shù)據(jù)如下表.并且查知這五年訂單數(shù)的平均數(shù)約為6.5億件.
年份代碼 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
訂單數(shù)(億件) | 2.8 | 4.7 | 8.1 | 10.4 |
(1)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中一個數(shù)據(jù)看不清,試求出表中的值,并根據(jù)收集的這些數(shù)據(jù)和下列有關(guān)參考數(shù)據(jù)說明函數(shù),中,哪一個類型更適合關(guān)于的回歸方程;
(2)依據(jù)你的判斷,求關(guān)于的回歸方程;
(3)預(yù)測菜鳥網(wǎng)絡(luò)物流2019年的訂單數(shù).
參考數(shù)據(jù):
訂單數(shù)(億件) | 2.8 | 4.7 | 8.1 | 10.4 | |
1.03 | 1.55 | 1.87 | 2.09 | 2.34 |
,.
參考公式:,.
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【題目】已知函數(shù)(,且)在上單調(diào)遞增,且關(guān)于的方程恰有兩個不相等的實數(shù)解,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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