Question

【題目】如圖,四棱錐的底面為菱形且∠ABC=120°,PA⊥底面ABCD,AB=1,PA=,E為PC的中點(diǎn).

(1)求直線(xiàn)DE與平面PAC所成角的大��；

(2)求二面角E-AD-C平面角的正切值；

(3)在線(xiàn)段PC上是否存在一點(diǎn)M,使PC⊥平面MBD成立.如果存在,求出MC的長(zhǎng)；如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

【答案】（1）（2）2（3）

【解析】

（1）連接AC,BD交于O，連接EO，可證明DO是平面PAC的垂線(xiàn)，即可得到

線(xiàn)面角為，解三角形即可求解（2）作交AD于F, 連接EF，可證明就是二面角E-AD-C的平面角，解三角形即可求解（3）過(guò)O作于M，可證明PC⊥平面MBD成立，根據(jù)中位線(xiàn)確定M點(diǎn)位置，即可求出CM的長(zhǎng).

（1） 連接AC,BD,

則由PA⊥底面ABCD，得平面PAC⊥底面ABCD于AC,

又由底面ABCA為菱形可得BD⊥AC于O，

平面PAC.

連接OE，則OE為DE在平面PAC上的射影，

即為DE與平面PAC所成的角.

E為PC中點(diǎn)可得,

由菱形性質(zhì)可得，在中，

，

在中，，

.

（2）因?yàn)?/span>，PA⊥底面ABCD，

所以底面ABCD，

作交AD于F, 連接EF,

則，

所以就是二面角E-AD-C的平面角，

由ABCD是菱形，且，得，

又，

在中，.

（3）過(guò)O作于M,

則由PA⊥底面ABCD可得平面PAC⊥底面ABCD于AC,

又底面ABCD，

平面PAC

,

而由平面PAC且，

可得平面MBD

故在線(xiàn)段PC上存在一點(diǎn)M,使PC⊥平面MBD成立，

此時(shí)，所以M是CE的中點(diǎn)，

故

在可解得，所以,

在中，

所以.