Question

（本小題滿分14分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E為AB的中點(diǎn)．(Ⅰ)求證：(Ⅱ)求異面直線BD₁與CE所成角的余弦值；（Ⅲ）求點(diǎn)B到平面的距離.

Answer 1

(Ⅰ) 見解析  (Ⅱ)  （Ⅲ）

法一：（1）連接BD，由已知有   
得…………1分
又由ABCD是正方形，得：……2分     ∵與相交，∴……3分
（2）延長(zhǎng)DC至G，使CG=EB，,連結(jié)BG、D₁G ，∵CG∥EB ，∴四邊形EBGC是平行四邊形.                                 
∴BG∥EC.  ∴就是異面直線BD₁與CE所成角…………………………5分
在中，   …………………6分
 
異面直線 與CE所成角的余弦值是………8分
（3）∵   ∴  又∵    ∴ 點(diǎn)E到的距離，有：   ，…………11分
又由 ， 設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為，
則 ， 有，， 所以點(diǎn)B到平面的距離為…14分
解法二：（1）見解法一…3分
（2）以D為原點(diǎn)，DA、DC、為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有B（2，2，0）、（0，0，2）、E（2，1，0）、C（0，2，0）、（2，0，2）∴（-2，-2，2），（2，-1，0）………5分
……7分即余弦值是   8分
（3）設(shè)平面的法向量為， 有：，，…8分
由：（0，1，-2），（2，-1，0）………9分
可得：，令，得 ………11分
由（0，1，0）有：點(diǎn)B到平面的距離為…14分