Question

如圖，梯形ABCD中，CD//AB，，E是AB的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，使點(diǎn)A折到點(diǎn)P的位置，且二面角的大小為120⁰．
（I）求證：；
（II）求直線PD與平面BCDE所成角的大小；
（III）求點(diǎn)D到平面PBC的距離.

Answer 1

I）證明見(jiàn)解析 （II）直線PD與平面BCDE所成角是．
（III）．

（I）連結(jié)AC交DE于F，連結(jié)PF．
，．
又，，
，
即CA平分．                                   
是正三角形，
，即PF⊥DE，CF⊥DE，
∴DE⊥面PCF，∴DE⊥PC．                               
（II）過(guò)P作于O，連結(jié)OD，設(shè)AD = DC = CB = a，則AB = 2a，
∵DE⊥面PCF，∴DE⊥PO，
∴PO⊥面BCDE，
∴∠PDO就是直線PD與平面BCDE所成的角．                 
∵∠PFC是二面角P-DE-C的平面角，
∴∠PFO= 60°，在RT△POD中，，
直線PD與平面BCDE所成角是．

（III）∵DE∥BC，DE在平面PBC外，，點(diǎn)到面的距離即為點(diǎn)F到面PBC的距離，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥PC，垂足為G．
∴DE⊥面PCF，
．，
，
∴FG的長(zhǎng)即為點(diǎn)F到面PBC的距離．                        
在菱形ADCE中，，．
，，
．