【題目】已知雙曲線的中心在原點,焦點F1,F2在坐標軸上,離心率為,且過點.點M(3,m)在雙曲線上.
(1)求雙曲線的方程;
(2)求證:;
(3)求△F1MF2的面積.
【答案】(1);(2)證明見解析;(3)6
【解析】
(1)根據(jù)設(shè)雙曲線的方程為,由點在雙曲線上,代入,即可得到雙曲線的方程;
(2)根據(jù)題意求出,,根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算得到以及由點M在雙曲線上得到,即可證明;
(3)以為底,以點M的縱坐標為高,即可得到△F1MF2的面積.
(1)因為,所以雙曲線的實軸、虛軸相等.則可設(shè)雙曲線方程為.因為雙曲線過點,所以16-10=λ,即λ=6.所以雙曲線方程為.
(2)證明:不妨設(shè)F1,F2分別為左、右焦點,則, 所以,因為M點在雙曲線上,所以9-m2=6,即m2-3=0,所以.
(3)的底.由(2)知.所以的高,所以
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【題目】已知函數(shù)為實數(shù))的圖像在點處的切線方程為.
(1)求實數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù),證明時, .
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【題目】空氣質(zhì)量按照空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為七檔(五級),相對應(yīng)空氣質(zhì)量的七個類別,指數(shù)越大,說明污染的情況越嚴重,對人體危害越大.
指數(shù) | 級別 | 類別 | 戶外活動建議 |
Ⅰ | 優(yōu) | 可正常活動 | |
Ⅱ | 良 | ||
Ⅲ | 輕微污染 | 易感人群癥狀有輕度加劇,健康人群出現(xiàn)刺激癥狀,心臟病和呼吸系統(tǒng)疾病患者應(yīng)減少體積消耗和戶外活動. | |
輕度污染 | |||
Ⅳ | 中度污染 | 心臟病和肺病患者癥狀顯著加劇,運動耐受力降低,健康人群中普遍出現(xiàn)癥狀,老年人和心臟病、肺病患者應(yīng)減少體力活動. | |
中度重污染 | |||
Ⅴ | 重污染 | 健康人運動耐受力降低,由明顯強烈癥狀,提前出現(xiàn)某些疾病,老年人和病人應(yīng)當留在室內(nèi),避免體力消耗,一般人群應(yīng)盡量減少戶外活動. |
現(xiàn)統(tǒng)計包頭市市區(qū)2016年10月至11月連續(xù)60天的空氣質(zhì)量指數(shù),制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求這60天中屬輕度污染的天數(shù);
(Ⅱ)將頻率分布直方圖中的五組從左到右依次命名為第一組,第二組,…,第五組.從第一組和第五組中的所有天數(shù)中抽出兩天,記它們的空氣質(zhì)量指數(shù)分別為,求事件的概率.
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【題目】設(shè),命題p:函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增;q:函數(shù)僅在處有極值.
(1)若命題q是真命題,求a的取值范圍;
(2)若命題是真命題,求a的取值范圍.
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【題目】已知,,若點A為函數(shù)上的任意一點,點B為函數(shù)上的任意一點.
(1)求A,B兩點之間距離的最小值;
(2)若A,B為函數(shù)與函數(shù)公切線的兩個切點,求證:這樣的點B有且僅有兩個,且滿足條件的兩個點B的橫坐標互為倒數(shù).
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【題目】畫糖是一種以糖為材料在石板上進行造型的民間藝術(shù),常見于公園與旅游景點.某師傅制作了一種新造型糖畫,為了進行合理定價先進性試銷售,其單價(元)與銷量(個)相關(guān)數(shù)據(jù)如下表:
(1)已知銷量與單價具有線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的線性相關(guān)方程;
(2)若該新造型糖畫每個的成本為元,要使得進入售賣時利潤最大,請利用所求的線性相關(guān)關(guān)系確定單價應(yīng)該定為多少元?(結(jié)果保留到整數(shù))
參考公式:線性回歸方程中斜率和截距最小二乘法估計計算公式:
.參考數(shù)據(jù):.
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【題目】[選修4-4:極坐標與參數(shù)方程]
在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(是參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程;
(2)若射線 與曲線交于,兩點,與曲線交于,兩點,求取最大值時的值
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【題目】已知函數(shù),其中,,為的零點:且恒成立,在區(qū)間上有最小值無最大值,則的最大值是( )
A. 11B. 13C. 15D. 17
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(Ⅰ)求的普通方程和的直角坐標方程;
(Ⅱ)若與交于,兩點,求的值.
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