【題目】已知函數(shù)且函數(shù)圖象上點(diǎn)處的切線斜率為.
(1)試用含有的式子表示,并討論的單調(diào)性;
(2)對(duì)于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)使得點(diǎn)處的切線,則稱存在“跟隨切線”.特別地,當(dāng)時(shí),又稱存在“中值跟隨切線”.試問:函數(shù)上是否存在兩點(diǎn)使得它存在“中值跟隨切線”,若存在,求出的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
【答案】(1)見解析(2)不存在
【解析】試題分析:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,且,又,整理得. .
然后根據(jù)a的不同取值情況逐一討論分析(2)假設(shè)滿足條件的存在,不妨設(shè)且,則,又由題有: ,整理可得: ,令,構(gòu)造函數(shù),則,則時(shí), 恒成立,故在上單調(diào)遞增從而得出不存在
試題解析:
函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,且,又,整理得.
(1).
1)當(dāng)時(shí),易知, 時(shí),
故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
2)當(dāng)地,令,解得或,則
①當(dāng),即時(shí), 在上恒成立,則在上遞增.
②當(dāng),即時(shí),當(dāng)時(shí), ;
當(dāng)時(shí), .
所以: 在及上單調(diào)遞增: 在上遞減.
③當(dāng),即時(shí),當(dāng)時(shí), ;
當(dāng)時(shí), .
所以: 在及上單調(diào)遞增: 在上遞減.
綜上:當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí), 在及上單調(diào)遞增: 在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí), 在上遞增.
當(dāng)時(shí), 在及上單調(diào)遞增; 在上遞減.
(2)滿足條件的不存在,理由如下:
假設(shè)滿足條件的存在,不妨設(shè)且,則
,又
,又由題有: ,整理可得:
,令,
構(gòu)造函數(shù),則,則時(shí),
恒成立,故在上單調(diào)遞增;所以時(shí), ,所
以不可能成立,綜上滿足條件的不存在.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來,共享單車已經(jīng)悄然進(jìn)入了廣大市民的日常生活,并慢慢改變了人們的出行方式.為了更好地服務(wù)民眾,某共享單車公司在其官方中設(shè)置了用戶評(píng)價(jià)反饋系統(tǒng),以了解用戶對(duì)車輛狀況和優(yōu)惠活動(dòng)的評(píng)價(jià).現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出條較為詳細(xì)的評(píng)價(jià)信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì),車輛狀況的優(yōu)惠活動(dòng)評(píng)價(jià)的列聯(lián)表如下:
對(duì)優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng) | 對(duì)優(yōu)惠活動(dòng)不滿意 | 合計(jì) | |
對(duì)車輛狀況好評(píng) | |||
對(duì)車輛狀況不滿意 | |||
合計(jì) |
(1)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng)與車輛狀況好評(píng)之間有關(guān)系?
(2)為了回饋用戶,公司通過向用戶隨機(jī)派送每張面額為元,元,元的 三種騎行券.用戶每次使用掃碼用車后,都可獲得一張騎行券.用戶騎行一次獲得元券,獲得元券的概率分別是,,且各次獲取騎行券的結(jié)果相互獨(dú)立.若某用戶一天使用了兩次該公司的共享單車,記該用戶當(dāng)天獲得的騎行券面額之和為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):
參考公式:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】黨的十九大報(bào)告指出,建設(shè)生態(tài)文明是中華民族永續(xù)發(fā)展的千年大計(jì).而清潔能源的廣泛使用將為生態(tài)文明建設(shè)提供更有力的支撐.沼氣作為取之不盡、用之不竭的生物清潔能源,在保護(hù)綠水青山方面具有獨(dú)特功效.通過辦沼氣帶來的農(nóng)村“廁所革命”,對(duì)改善農(nóng)村人居環(huán)境等方面,起到立竿見影的效果.為了積極響應(yīng)國家推行的“廁所革命”,某農(nóng)戶準(zhǔn)備建造一個(gè)深為2米,容積為32立方米的長方體沼氣池,如果池底每平方米的造價(jià)為150元,池壁每平方米的造價(jià)為120元,沼氣池蓋子的造價(jià)為3000元,問怎樣設(shè)計(jì)沼氣池能使總造價(jià)最低?最低總造價(jià)是多少元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓:與直線:,動(dòng)直線過定點(diǎn).
(1)若直線與圓相切,求直線的方程;
(2)若直線與圓相交于、兩點(diǎn),點(diǎn)M是PQ的中點(diǎn),直線與直線相交于點(diǎn)N.探索是否為定值,若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具,因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保,至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用,如左下圖.假定在水流量穩(wěn)定的情況下,半徑為3m的筒車上的每一個(gè)盛水桶都按逆時(shí)針方向作角速度為rad/min的勻速圓周運(yùn)動(dòng),平面示意圖如右下圖,己知筒車中心O到水面BC的距離為2m,初始時(shí)刻其中一個(gè)盛水筒位于點(diǎn)P0處,且∠P0OA=(OA//BC),則8min后該盛水筒到水面的距離為____m.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某觀光海域AB段的長度為3百公里,一超級(jí)快艇在AB段航行,經(jīng)過多次試驗(yàn)得到其每小時(shí)航行費(fèi)用Q(單位:萬元)與速度v(單位:百公里/小時(shí))(0≤v≤3)的以下數(shù)據(jù):
0 | 1 | 2 | 3 | |
0 | 0.7 | 1.6 | 3.3 |
為描述該超級(jí)快艇每小時(shí)航行費(fèi)用Q與速度v的關(guān)系,現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇:Q=av3+bv2+cv,Q=0.5v+a,Q=klogav+b.
(1)試從中確定最符合實(shí)際的函數(shù)模型,并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)該超級(jí)快艇應(yīng)以多大速度航行才能使AB段的航行費(fèi)用最少?并求出最少航行費(fèi)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市從高二年級(jí)隨機(jī)選取1000名學(xué)生,統(tǒng)計(jì)他們選修物理、化學(xué)、生物、政治、歷史和地理六門課程(前3門為理科課程,后3門為文科課程)的情況,得到如下統(tǒng)計(jì)表,其中“√”表示選課,“空白”表示未選.
科目 方案 人數(shù) | 物理 | 化學(xué) | 生物 | 政治 | 歷史 | 地理 | |
一 | 220 | √ | √ | √ | |||
二 | 200 | √ | √ | √ | |||
三 | 180 | √ | √ | √ | |||
四 | 175 | √ | √ | √ | |||
五 | 135 | √ | √ | √ | |||
六 | 90 | √ | √ | √ |
(Ⅰ)在這1000名學(xué)生中,從選修物理的學(xué)生中隨機(jī)選取1人,求該學(xué)生選修政治的概率;
(Ⅱ)在這1000名學(xué)生中,從選擇方案一、二、三的學(xué)生中各選取2名學(xué)生,如果在這6名學(xué)生中隨機(jī)選取2名,求這2名學(xué)生除選修物理以外另外兩門選課中有相同科目的概率;
(Ⅲ)利用表中數(shù)據(jù)估計(jì)該市選課偏文(即選修至少兩門文科課程)的學(xué)生人數(shù)多還是偏理(即選修至少兩門理科課程)的學(xué)生人數(shù)多,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小威初三參加某高中學(xué)校的數(shù)學(xué)自主招生考試,這次考試由十道選擇題組成,得分要求是:做對(duì)一道題得1分,做錯(cuò)一道題扣去1分,不做得0分,總得分7分就算及格,小威的目標(biāo)是至少得7分獲得及格,在這次考試中,小威確定他做的前六題全對(duì),記6分,而他做余下的四道題中,每道題做對(duì)的概率均為p,考試中,小威思量:從余下的四道題中再做一題并且及格的概率;從余下的四道題中恰做兩道并且及格的概率,他發(fā)現(xiàn),只做一道更容易及格.
(1)設(shè)小威從余下的四道題中恰做三道并且及格的概率為,從余下的四道題中全做并且及格的概率為,求及;
(2)由于p的大小影響,請(qǐng)你幫小威討論:小威從余下的四道題中恰做幾道并且及格的概率最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某機(jī)構(gòu)為了調(diào)查某市同時(shí)符合條件與(條件:營養(yǎng)均衡,作息規(guī)律;條件:經(jīng)常鍛煉,勞逸結(jié)合)的高中男生的體重(單位:)與身高(單位: )是否存在較好的線性關(guān)系,該機(jī)構(gòu)搜集了位滿足條件的高中男生的數(shù)據(jù),得到如下表格:
身高/ | ||||||
體重/ |
根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得到關(guān)于的線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線的斜率為.
(1)求關(guān)于的線性回歸方程(精確到整數(shù)部分);
(2)已知,且當(dāng)時(shí),回歸方程的擬合效果較好。試結(jié)合數(shù)據(jù),判斷(1)中的回歸方程的擬合效果是否良好?
(3)該市某高中有位男生同時(shí)符合條件與,將這位男生的身高(單位:)的數(shù)據(jù)繪制成如下的莖葉圖。利用(1)中的回歸方程估計(jì)這位男生的體重未超過的所有男生體重(單位:)的平均數(shù)(結(jié)果精確到整數(shù)部分).
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