Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的定義域；

（2）若函數(shù)有且僅有一個零點，求實數(shù)m的取值范圍；

（3）任取，若不等式對任意恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）將代入中,根據(jù),解出不等式即可；

（2）由題,函數(shù)有且僅有一個零點,則可得方程有且僅有一個根,然后求出的范圍；

（3）由條件可得對任意恒成立,求出的最大值和最小值代入該式即可得到的范圍

（1）當(dāng)時,，

要使函數(shù)有意義,則需,即,從而

故函數(shù)的定義域為

（2）若函數(shù)有且僅有一個零點,

則有且僅有一個根,即,即,

即有且僅有一個根

令,則有且僅有一個正根,

當(dāng)時,,則,即,成立；

當(dāng)時,若即時,,此時成立；

若,需,即,

綜上，m的取值范圍為

（3）若任取,不等式對任意恒成立,

即對任意恒成立,

因為在定義域上是單調(diào)減函數(shù),

所以,,

即,

即,則,

所以,即,

又有意義,需,即,

所以,,

所以的取值范圍為