【題目】如圖,在三棱錐中,為棱上的任意一點(diǎn),分別為所在棱的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)若平面,,,,當(dāng)二面角的平面角為時(shí),求棱的長(zhǎng).
【答案】(1)見解析;(2)2
【解析】分析:(1)要證BD//平面FGH,可先證平面ABP//平面FGH,而這由中位線定理易得線線平行,從而有線面平行,再得面面平行;
(2)可以C為原點(diǎn),CB為x軸,CP為z軸,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),寫出點(diǎn)的坐標(biāo),求得兩平面CGF和平面HGF的法向量,由法向量夾角與二面角的關(guān)系可求得,從而得PC的長(zhǎng).
詳解:(1)證明:因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn),
所以,且平面,
平面,所以平面.
又因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn),所以有,平面,
且平面,所以平面.
又因?yàn)?/span>,所以平面平面.
因?yàn)?/span>平面,所以平面.
(2)解:在平面內(nèi)過點(diǎn)作,如圖所示,以為原點(diǎn),所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.
由為等腰直角三角形知,又,,所以有平面.
設(shè),則,,
所以為平面的一個(gè)法向量.
又,,所以,,
設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則有,
即有,所以可取.
由,得,從而.
所以棱的長(zhǎng)為2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列五個(gè)命題:
①函數(shù)f(x)=2a2x-1-1的圖象過定點(diǎn)(,-1);
②已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x(x+1),若f(a)=-2則實(shí)數(shù)a=-1或2.
③若loga>1,則a的取值范圍是(,1);
④若對(duì)于任意x∈R都f(x)=f(4-x)成立,則f(x)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱;
⑤對(duì)于函數(shù)f(x)=lnx,其定義域內(nèi)任意x1≠x2都滿足f()≥
其中所有正確命題的序號(hào)是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是( )
①若直線平面,直線,則;②若直線l和平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直,則直線l與平面必相交;③過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線和平面垂直;④過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和直線a垂直
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年2月22日.在平昌冬奧會(huì)短道速滑男子500米比賽中.中國(guó)選手武大靖以連續(xù)打破世界紀(jì)錄的優(yōu)異表現(xiàn),為中國(guó)代表隊(duì)奪得了本屆冬奧會(huì)的首枚金牌,也創(chuàng)造中國(guó)男子冰上競(jìng)速項(xiàng)目在冬奧會(huì)金牌零的突破.某高校為調(diào)查該校學(xué)生在冬奧會(huì)期間累計(jì)觀看冬奧會(huì)的時(shí)間情況.收集了200位男生、100位女生累計(jì)觀看冬奧會(huì)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時(shí)).又在100位女生中隨機(jī)抽取20個(gè)人.已知這20位女生的數(shù)據(jù)莖葉圖如圖所示.
(1)將這20位女生的時(shí)間數(shù)據(jù)分成8組,分組區(qū)間分別為,在答題卡上完成頻率分布直方圖;
(2)以(1)中的頻率作為概率,求1名女生觀看冬奧會(huì)時(shí)間不少于30小時(shí)的概率;
(3)以(1)中的頻率估計(jì)100位女生中累計(jì)觀看時(shí)間小于20個(gè)小時(shí)的人數(shù).已知200位男生中累計(jì)觀看時(shí)間小于20小時(shí)的男生有50人請(qǐng)完成答題卡中的列聯(lián)表,并判斷是否有99 %的把握認(rèn)為“該校學(xué)生觀看冬奧會(huì)累計(jì)時(shí)間與性別有關(guān)”.
| 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
附:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為,且,圓與軸交于點(diǎn),,為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),,面積最大值為.
(1)求圓與橢圓的方程;
(2)圓的切線交橢圓于點(diǎn),,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為矩形,平面平面,.
(1)證明:平面平面;
(2)若,為棱的中點(diǎn),,,求四面體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=-x3+x2+(m2-1)x(x∈R),其中m>0.
(1)當(dāng)m=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的定義域;
(2)若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)任取,若不等式對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國(guó)南北朝時(shí)間著名數(shù)學(xué)家祖暅提出了祖暅原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”.意思是:夾在兩平行平面間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平行平面的任何平面所載,若截得的兩個(gè)截面面積總相等,則這兩個(gè)幾何體的體積相等.為計(jì)算球的體積,構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱,然后再圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn),圓柱上底面為底面的圓錐,運(yùn)用祖暅原理可證明此幾何體與半球體積相等(任何一個(gè)平面所載的兩個(gè)截面面積都相等).將橢圓 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體,類比上述方法,運(yùn)用祖暅原理可求得其體積等于( )
A. B. C. D.
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