【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)證明:直線與曲線相交于兩點,并求兩點之間的距離.
【答案】(1)x+y-3=0, (2)
【解析】
(1)直線的參數(shù)方程消去參數(shù),即可求出直線的直角坐標(biāo)方程;曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為,根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互換公式,由此能求出曲線的直角坐標(biāo)方程.
(2)求出曲線的圓心,和半徑,在根據(jù)點到直線的距離公式,求出圓心到直線l的距離,根據(jù)與關(guān)系即可證明結(jié)果,然后再根據(jù)勾股定理,即可求出結(jié)果.
(方法二)將(1)得到的方程聯(lián)立,化簡可得一元二次方程,根據(jù)一元二次方程的判別式,即可證明結(jié)果,然后再利用韋達(dá)定理和弦長公式即可求出結(jié)果.
(1)由消去參數(shù)得直線的普通方程為
由,得,曲線的直角坐標(biāo)方程為
(2)曲線即
圓心到直線的距離
所以,直線與曲線相交于兩點,
兩交點之間的距離為
(方法二)由得
,方程有兩個不相等的實根,即直線與曲線相交于兩點,
設(shè)兩交點為,則,,
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點F與拋物線焦點重合,且橢圓的離心率為,過軸正半軸一點 且斜率為的直線交橢圓于兩點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在實數(shù)使以線段為直徑的圓經(jīng)過點,若存在,求出實數(shù)的值;若不存在說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O1與⊙O2交于P、Q兩點,⊙A的弦以與⊙O2相切,⊙O2的弦PB與⊙O1相切,直線PQ與△PAB的外接圓⊙O交于另一點R.證明:PQ=QR.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,過其焦點的直線與拋物線相交于、兩點,滿足.
(1)求拋物線的方程;
(2)已知點的坐標(biāo)為,記直線、的斜率分別為,,求的最小值.
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【題目】已知直線l:y=kx+m與橢圓+=1(a>b>0)恰有一個公共點P,l與圓x2+y2=a2相交于A,B兩點.
(Ⅰ)求m(用a,b,k表示);
(Ⅱ)當(dāng)k=-時,△AOB的面積的最大值為a2,求橢圓的離心率.
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【題目】已知數(shù)列的前項和滿足,數(shù)列滿足.
Ⅰ求數(shù)列和數(shù)列的通項公式;
Ⅱ令,若對于一切的正整數(shù)恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
Ⅲ數(shù)列中是否存在,且 使,,成等差數(shù)列?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】汽車的普及給人們的出行帶來了諸多方便,但汽車超速行駛也造成了諸多隱患.為了解汽車通過某一段公路時的車輛行駛情況,現(xiàn)隨機(jī)抽測了通過這段公路的200輛汽車的行駛速度(單位:km/h),所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間內(nèi),其頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求被抽測的200輛汽車的平均行駛速度.
(2)已知該路段屬于事故高發(fā)路段,交警部門對此路段過往車輛限速60 km/h,并且對于超速行駛車輛有相應(yīng)處罰:記分(扣除駕駛員駕照的分?jǐn)?shù))和罰款.
罰款情況如下:
超速情況 | 10%以內(nèi) | 10%~20% | 20%~50% | 50%以上 |
罰款情況 | 0元 | 100元 | 150元 | 500元 |
求被抽測的200輛汽車中超速10%~20%的車輛數(shù).
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【題目】在一次高三年級統(tǒng)一考試中,數(shù)學(xué)試卷有一道滿分為10分的選做題,學(xué)生可以從A,B兩道題目中任選一題作答,某校有900名高三學(xué)生參加了本次考試,為了了解該校學(xué)生解答該選做題的得分情況,計劃從900名學(xué)生的選做題成績中隨機(jī)抽取一個容量為10的樣本,為此將900名學(xué)生的選做題成績隨機(jī)編號為001,002,…,900.若采用分層隨機(jī)抽樣,按照學(xué)生選擇A題目或B題目,將成績分為兩層,且樣本中選擇A題目的成績有8個,平均數(shù)為7,方差為4;樣本中選擇B題目的成績有2個,平均數(shù)為8,方差為1.試用樣本估計該校900名學(xué)生的選做題得分的平均數(shù)與方差.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,判斷在上的單調(diào)性并證明;
(2)若對任意,不等式恒成立,求的取值范圍;
(3)討論函數(shù)的零點個數(shù).
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