Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面PAB，AD∥BC，BC=CD= AD，E，F分別為線段AD，PD的中點．
（Ⅰ）求證：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求證：PD⊥平面CEF；
（Ⅲ）寫出三棱錐D﹣CEF與三棱錐P﹣ABD的體積之比．（結論不要求證明）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵BC∥AD，BC= ，E為AD中點，

∴AE∥BC，且AE=BC，

∴四邊形ABCE為平行四邊形，

∴CE∥AB，

又AB平面PAB，CE平面PAB，

∴CE∥平面PAB．

（Ⅱ）證明：∵E、F分別為AD、PD的中點，∴EF∥PA，

又∵PD⊥平面PAB，PA，AB平面PAB，

∴PD⊥AB，PD⊥PA，∴PD⊥EF，

又CE∥AB，∴PD⊥CE，

∵EF∩CE=E，

∴PD⊥平面CEF．

（Ⅲ）解：三棱錐D﹣CEF與三棱錐P﹣ABD的體積之比為：

= ．

【解析】（Ⅰ）推導出四邊形ABCE為平行四邊形，從而CE∥AB，由此能證明CE∥平面PAB．（Ⅱ）推導出EF∥PA，則PD⊥AB，PD⊥PA，從而PD⊥EF，由CE∥AB，得PD⊥CE，由此能證明PD⊥平面CEF．（Ⅲ）由三棱錐的體積公式能求出三棱錐D﹣CEF與三棱錐P﹣ABD的體積之比．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．