Question

【題目】將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A﹣BC﹣C，有如下四個(gè)結(jié)論：
①AC⊥BD；②△ABC是等邊三角形；
③AB與CD所成的角90°；④二面角A﹣BC﹣D的平面角正切值是；
其中正確結(jié)論是 ．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：取BD中點(diǎn)E，連結(jié)AE，CE，則AE⊥BD，CE⊥BD，∴BD⊥平面ACE，∴AC⊥BD．故①正確．
設(shè)折疊前正方形的邊長(zhǎng)為1，則BD= ， ∴AE=CE= ．
∵平面ABD⊥平面BCD，∴AE⊥平面BCD，∴AE⊥CE，∴AC==1．
∴△ABC是等邊三角形，故②正確．
取BC中點(diǎn)F，AC中點(diǎn)G，連結(jié)EF，F(xiàn)G，EG，則EF∥CD，F(xiàn)G∥AB，
∴∠EFG為異面直線AB，CD所成的角，在△EFG中，EF=CD= ， FG=AB= ， EG=AC= ，
∴△EFG是等邊三角形，∴∠EFG=60°，故③錯(cuò)誤．
∵AF⊥BC，BC⊥CD，EF∥CD，∴∠AFE為二面角A﹣BC﹣D的平面角．
∵AE⊥EF，∴tan∠AFE=．故④正確．
所以答案是：①②④．

【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用平面與平面垂直的性質(zhì)，掌握兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直即可以解答此題．