Question

【題目】如圖所示,圓C上有n個不同的點P1,P2,…,Pn,設兩兩連接這些點所得線段PiPj中,任意三條在圓內都不共點,試證它們在圓內共≥4).

Answer 1

【答案】見解析

【解析】分析：利用數(shù)學歸納法分兩步逐步證明即可.

詳解：設圓內的交點個數(shù)為P(n).

(1)當n=4時,則P(4)=1.

(2)假設當n=k時,P(k)k+1個點,且P1,P2,…,Pk,Pk+1按逆時針方向排列,依次連接Pk+1P1,Pk+1P2,…,可增加k條線段,分別考查這k條線段與此前圓內線段的交點個數(shù):

與Pk+1P1:0個;

與Pk+1P2:k-2個(分別與P1P3,P1P4,…,P1Pk交得);

與Pk+1P3:2(k-3)個(分別與P1P4,P1P5,…,P1Pk,P2P4,…,P2Pk交得);

與Pk+1P4:3(k-4)個(分別與P1P5,…,P1Pk,…,P3Pk交得);

與Pk+1Pk-1:(k-2)×1個(分別與P1Pk,P2Pk,…,Pk-2Pk交得),

故總共增加:1(k-2)+2(k-3)+3(k-4)+…+(k-2)[(k-1)-(k-2)]=k+2k+…+(k-2)k-[1×2+2×3+3×4+…+(k-2)(k-1)]個交點,得P(k+1)n=k+1時命題成立.

根據(jù)(1)(2)可知,對一切n≥4的自然數(shù)n命題都成立.