【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,PC⊥平面ABCD,點(diǎn)E在棱PA上.
(Ⅰ)求證:直線BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)若PC∥平面BDE,求證:AE=EP;
(Ⅲ)是否存在點(diǎn)E,使得四面體A﹣BDE的體積等于四面體P﹣BDC的體積的 ?若存在,求出 的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】證明:(Ⅰ)因?yàn)镻C⊥平面ABCD,所以PC⊥BD,

因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,所以BD⊥AC,

因?yàn)镻C∩AC=C,所以BD⊥平面PAC.

(Ⅱ)設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O,連接OE,

因?yàn)槠矫鍼AC∩平面BDE=OE,PC∥平面BDE,

所以PC∥OE,

又由ABCD是菱形可知O為AC中點(diǎn),

所以,在△PAC中, ,

所以AE=EP.

(Ⅲ)在△PAC中過點(diǎn)E作EF∥PC,交AC于點(diǎn)F,

因?yàn)镻C⊥平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD.

由ABCD是菱形可知S△ABD=S△BDC,

假設(shè)存在點(diǎn)E滿足 ,即 ,則 ,

所以在△PAC中,

所以


【解析】(Ⅰ)推導(dǎo)出PC⊥BD,BD⊥AC,由此能證明BD⊥平面PAC.(Ⅱ)設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O,連接OE,推導(dǎo)出PC∥OE,由ABCD是菱形可知O為AC中點(diǎn),利用 ,能證明AE=EP.(Ⅲ)在△PAC中過點(diǎn)E作EF∥PC,交AC于點(diǎn)F,由ABCD是菱形可知S△ABD=S△BDC,由此利用 ,能求出結(jié)果.
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本,需要知道一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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