Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn ， 且滿足Sn=2an﹣2；數(shù)列{bn}的前n項和為Tn ， 且滿足b1=1，b2=2， ．
（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；
（2）是否存在正整數(shù)n，使得 恰為數(shù)列{bn}中的一項？若存在，求所有滿足要求的bn；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由Sn=2an﹣2，則當n≥2時，Sn﹣1=2an﹣1﹣2，

兩式相減得：an=2an﹣2an﹣1，則an=2an﹣1，

由S1=2a1﹣2，則a1=2，

∴數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，則an=2n，

由 ．

則 = ， = ， = ，…， = ． =

以上各式相乘， = ，則2Tn=bnbn+1，

當n≥2時，2Tn﹣1=bn﹣1bn，兩式相減得：2bn=bn（bn+1﹣bn﹣1），即bn+1﹣bn﹣1=2，

∴數(shù)列{bn}的奇數(shù)項，偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，

由 = ，則b3=T2=b1+b2=3，b1+b3=2b2，

∴數(shù)列{bn}是以b1=1為首項，1為公差的等差數(shù)列，

∴數(shù)列{bn}的通項公式bn=n；

（2）當n=1時， 無意義，

設(shè)cn= = ，（n≥2，n∈N*），

則cn+1﹣cn= ﹣ = ＜0，

即cn＞cn+1＞1，

顯然2n+n+1＞2n﹣（n+1），則c2=7＞c3=3＞c4＞…＞1，

∴存在n=2，使得b7=c2，b3=c3，

下面證明不存在c2=2，否則，cn= =2，即2n=3（n+1），

此時右邊為3的倍數(shù)，而2n不可能是3的倍數(shù)，故該不等式成立，

綜上，滿足要求的bn為b3，b7．

【解析】（1）先根據(jù)所給的數(shù)列前n項和與通項公式求得數(shù)列的首項及數(shù)列特征，進而求得數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)（1）可知數(shù)列{bn}的通項公式bn=n，結(jié)合題意求所給數(shù)列為正整數(shù)的情況即可；首先判斷所給數(shù)列的首項值，再判斷所給數(shù)列的增減性，進而解決此題.